结论前置：网吧上班一个多月不签劳动合同是违法的，网吧需承担相应的法律责任。

法律依据与违法性分析

1. 《中华人民共和国劳动法》第十六条明确规定，劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。建立劳动关系应当订立劳动合同。这一规定适用于所有用人单位，网吧作为用人单位之一，必须遵守。

2. 《中华人民共和国劳动合同法》第二条及第十条进一步强调，中华人民共和国境内的企业、个体经济组织等组织（即用人单位）与劳动者建立劳动关系后，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。网吧作为个体经济组织或企业，在用工之日起一个月内未与劳动者签订书面劳动合同，即违反了这一法律规定。

法律后果

1. 支付双倍工资：

   • 法律依据：《劳动合同法》第八十二条。用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 实例说明：若您在网吧工作了1个多月但网吧未与您签订劳动合同，则网吧除支付正常工资外，还需额外支付您1个月（超过1个月不满1年的部分）的工资作为双倍工资的差额赔偿。具体计算方式为：双倍工资差额 = 正常月工资 × 未签订劳动合同的月数（超过1个月的部分）。

2. 视为签订无固定期限劳动合同：

   • 法律依据：《劳动合同法》第十四条。用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。虽然您目前只工作了一个多月，但若网吧持续不签合同，满一年后将面临此后果。
   • 后续责任：若网吧在满一年后仍未与您签订劳动合同，则需立即补订书面劳动合同，否则自应订立无固定期限劳动合同之日起向您每月支付二倍的工资。

3. 行政处罚：

   • 网吧还可能面临劳动行政部门的警告、罚款等行政处罚，因其违反了劳动法律法规的相关规定。

劳动者权益保护

• 证据收集：在没有劳动合同的情况下，您可通过收集工资发放记录、工作证、考勤记录等证据来证明与网吧之间的劳动关系，以维护自己的合法权益。
• 法律途径：您可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求网吧支付未签订劳动合同的双倍工资差额，甚至解除劳动合同的经济补偿金。

总结与建议

网吧作为用人单位，应严格遵守劳动法律法规，及时与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。同时，您也应了解自己的合法权益，对于网吧不签劳动合同的行为，可以依法向劳动行政部门投诉或寻求法律援助，确保自身权益得到保障。若您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。