结论前置：

1. 被执行人在法院拘留期间逃跑，可能构成拒不执行判决、裁定罪。
2. 逃跑行为本身虽不直接等同于犯罪，但结合其他情节可能升级为刑事犯罪。
3. 法院会采取追捕、罚款、司法拘留等措施，并可能移送公安机关立案侦查。

详细分析：

1. 逃跑行为可能构成拒不执行判决、裁定罪

根据《刑法》第三百一十三条，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
若被执行人被法院决定司法拘留（如因拒不履行生效法律文书），在拘留期间逃跑，且其有能力履行而故意逃避执行，可能被认定为“情节严重”，从而构成拒不执行判决、裁定罪。
关键点：需证明被执行人“有能力执行”且“故意逃避”，例如其名下有财产、收入或转移财产等行为。

2. 逃跑行为本身不直接等同于犯罪，但可能升级为刑事犯罪

司法拘留是法院对妨碍民事诉讼行为（如拒不履行、暴力抗法等）的强制措施，逃跑行为本身属于违反司法秩序，但单独不构成犯罪。
然而，若逃跑过程中伴随其他行为（如伪造证据、转移财产、暴力抗法等），可能同时触犯其他罪名（如伪造公司印章罪、妨害公务罪等），需结合具体情节判断。

3. 法院的处理措施及后续程序

• 追捕与罚款：法院会立即通知公安机关协助追捕，并可能对被执行人处以罚款（根据《民事诉讼法》第一百一十五条，个人罚款金额为人民币十万元以下）。
  
• 延长或重新拘留：若被执行人被抓获，法院可决定延长原拘留期限或重新采取司法拘留措施。
  
• 移送公安机关立案：若法院认为逃跑行为涉嫌拒不执行判决、裁定罪，会将案件材料移送公安机关立案侦查，由检察院提起公诉。

实务建议：

• 对被执行人：若已被司法拘留，应立即配合法院执行，避免逃跑导致刑事责任。若确无履行能力，可主动与申请执行人协商分期履行或提供担保，争取解除拘留。
  
• 对申请执行人：若发现被执行人逃跑，应及时向法院提供线索（如藏匿地点、财产转移情况等），协助法院追捕并推动刑事立案。
  

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