商家在特定情况下应当承担责任。针对您提出的问题，即小孩骑商家赠送的自行车，由于自行车质量原因导致小孩受伤，商家是否应该承担责任，我们可以从以下几个角度进行详细分析：
一、商家责任的法律基础
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，因产品存在缺陷造成他人损害的，生产者应当承担侵权责任。这里的“产品”包括经过加工、制作，用于销售的产品，而商家赠送的自行车同样属于产品的范畴。如果自行车存在质量缺陷，如刹车失灵、车架断裂等，导致小孩在骑行过程中受伤，那么商家作为产品的提供者，应当承担相应的侵权责任。
二、商家承担责任的具体情形
产品存在缺陷：
- 如果自行车在设计、制造或警示说明等方面存在缺陷，且这些缺陷是导致小孩受伤的直接原因，那么商家应当承担责任。
- 例如，自行车的刹车系统存在故障，导致小孩在骑行时无法及时刹车而摔倒受伤。
商家未尽到安全保障义务：
- 商家在赠送自行车时，有义务确保产品的安全性。如果商家明知自行车存在质量问题或安全隐患，却仍然将其赠送给消费者，那么商家应当承担相应的责任。
- 例如，商家在赠送前已经知道自行车的车架存在裂纹，但未告知消费者或未采取补救措施。
三、商家可能免责的情形
小孩或监护人存在过错：
- 如果小孩在骑行过程中存在不当行为，如超速、违规骑行等，或者监护人未尽到监护职责，导致小孩受伤，那么商家可能减轻或免除责任。
- 例如，小孩在骑行时未遵守交通规则，与机动车发生碰撞而受伤。
不可抗力因素：
- 如果小孩受伤是由于不可抗力因素导致的，如自然灾害、意外事件等，且商家已经尽到了合理的安全保障义务，那么商家可能不承担责任。
四、法律建议
收集证据：
- 如果发生此类事件，建议首先收集相关证据，如自行车的购买凭证、质量检测报告、小孩的受伤证明等。
与商家协商：
- 在收集到足够证据后，可以与商家进行协商，要求商家承担相应的赔偿责任。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
总结来看，如果小孩骑商家赠送的自行车由于自行车质量原因导致受伤，商家在特定情况下应当承担责任。但具体责任的大小和承担方式需要根据实际情况进行判断。如果您或您的家人遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。