结论：偷窃拘留1个月罚款2千后，是否会留下案底，取决于该拘留是行政拘留还是刑事拘留。行政拘留不会留下案底，但刑事拘留且后续被判有罪则会留下案底。
分析说明：
行政拘留与刑事拘留的区别：
- 行政拘留：是对违反行政法规（如《治安管理处罚法》）的行为所采取的处罚措施，其性质属于行政处罚。行政拘留的期限通常较短，且不会留下案底，但会留下违法记录，该记录一般仅在公安机关内部可查，对个人的社会信用、就业等影响相对较小。
- 刑事拘留：是刑事诉讼中的一种强制措施，用于确保犯罪嫌疑人或被告人在审判前不逃避或妨碍诉讼。刑事拘留本身不是处罚，但如果后续被判有罪，则会留下案底，即犯罪记录，这将对个人的社会信用、就业、出国等产生较大影响。
偷窃行为的法律后果：
- 如果偷窃行为情节较轻，未达到刑事犯罪的标准，可能仅受到行政拘留和罚款的处罚。在此情况下，虽然会有违法记录，但不会留下案底。
- 如果偷窃行为情节严重，构成盗窃罪等刑事犯罪，且被刑事拘留后经法院审判被判有罪，则会留下案底。
具体案例与法律后果：
- 在您提到的案例中，偷窃被拘留1个月并罚款2千，若该拘留为行政拘留，则不会留下案底；若该拘留为刑事拘留且后续被判有罪，则会留下案底。
- 需要注意的是，即使拘留为行政拘留，违法记录也可能对个人在某些特定场合（如申请某些职业、出国签证等）产生一定影响。
法律建议：
- 如果您或他人因偷窃行为被拘留并罚款，建议尽快了解拘留的性质（行政拘留还是刑事拘留）以及后续的法律程序。
- 如果拘留为行政拘留，虽然不会留下案底，但也应反思行为，遵守法律法规，避免再次违法。
- 如果拘留为刑事拘留且可能面临刑事指控，建议尽快咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果，以便制定合适的辩护策略。
后续行动指南：
- 若您或他人因偷窃行为被拘留，首先确认拘留的性质和原因。
- 根据拘留性质，采取相应的法律行动，如申请行政复议、提起行政诉讼或准备刑事辩护等。
- 在整个过程中，保持与律师的沟通，确保自己的权益得到充分保护。
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