结论前置：公司开除员工（即解除劳动合同）必须基于合法且合理的理由，并严格遵循《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据法律规定及实践，开除员工的理由主要分为员工个人原因、公司原因以及其他特定情形。以下是对这些情形的详细分析：
一、员工个人原因
试用期间不符合录用条件：
- 公司在招聘时需明确录用条件，并在员工入职时告知。若员工在试用期结束时未满足这些条件，公司有权解除劳动合同。但需注意，公司需保留相关证据，如招聘广告、面试记录、试用期考核标准及结果等。
严重违反规章制度：
- 公司的规章制度必须合法、合理且经过公示。员工如连续旷工、泄露商业机密、打架斗殴等严重违纪行为，公司可依此解除劳动合同。此时，公司需提供员工知晓规章制度的证据及违纪事实证明，如签字确认的规章制度手册、考勤记录等。
严重失职或营私舞弊：
- 员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可解除劳动合同。公司需明确“重大损害”的标准，并提供损失的相关证据，如财务报表、客户流失证明等。
兼职影响工作：
- 员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正时，公司可解除劳动合同。公司需提供员工兼职及对本公司工作影响的证据。
劳动合同无效：
- 如员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可认定合同无效并解除劳动关系。此时，公司需提供员工欺诈行为的证据，如虚假证书的鉴定报告等。
被追究刑事责任：
- 员工被依法追究刑事责任时，公司可解除劳动合同。公司需提供法院的生效判决等相关法律文书作为依据。
二、公司原因
患病或非因工负伤：
- 员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作时，公司可解除劳动合同。但需提供医疗期证明、员工不能胜任工作的相关证明，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
不能胜任工作：
- 员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可解除劳动合同。公司需明确“不能胜任工作”的标准，提供绩效考核记录、培训记录等证据，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
客观情况变化：
- 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可解除劳动合同。公司需提供客观情况变化的证明及与员工协商的记录，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。
三、其他特定情形
- 经济性裁员：
- 在公司依照企业破产法规定进行重整或生产经营发生严重困难时，可进行经济性裁员。但需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，将裁减人员方案报送劳动行政部门，方可裁减人员。
四、开除员工的程序要求
- 公司在开除员工前必须具备充足的事实依据，并遵循合法程序。包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。
五、经济补偿与赔偿
合法开除无需赔偿：
- 若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。
违法开除需赔偿：
- 若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
总结与建议：公司在开除员工时必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。