在补签房屋租赁合同以进行房子续租的过程中，为了确保双方权益得到法律的有效保护，并遵循合法合规的原则，您可以按照以下详细且条理清晰的步骤来操作：

一、双方协商与确认意愿

首先，您需要与房东进行充分的沟通，明确补签合同的目的、内容和主要条款。这包括但不限于租赁期限、租金及支付方式、押金处理、房屋使用规定等。确保双方都同意补签，并对这些主要条款达成一致意见。这是基于《合同法》的自愿原则，即合同双方应自愿订立合同，不得强迫或欺诈。

二、准备合同文本

接下来，您需要准备一份合同文本。这份文本可以来源于当地房地产管理部门提供的示范文本、网络上的标准模板，或者您也可以根据实际情况自行起草。无论哪种方式，合同内容都必须包含双方当事人信息、房屋基本情况、租赁期限、租金及支付方式、押金、双方权利义务、违约责任、争议解决方式等关键条款。这是根据《合同法》的规定，合同内容应具体明确，包括标的、数量、质量、价款、履行期限、地点和方式等。

三、回顾租赁事实并明确关键条款

在准备合同文本的同时，您和房东需要共同回顾租赁期间的实际情况，如租金支付情况、房屋状况等，并在合同中准确反映这些情况。特别要关注租赁物的详细信息、租赁期限、租金及支付方式、押金处理、维修责任、违约责任等核心条款。这是基于《合同法》的诚实信用原则，要求双方如实告知并履行合同义务。

四、签署合同

在合同文本准备好后，您和房东应仔细阅读合同条款，确保无异议后签字或盖章，并注明签字日期。如果房东是法人或其他组织，还需要加盖单位公章，并由法定代表人或授权代表签字。在签署前，建议您请专业律师或法律顾问对合同进行审核，以确保其合法性和有效性。这是根据《合同法》的规定，合同自双方签字或盖章时成立。

五、办理相关手续

根据当地法律法规，您可能还需要到相关部门办理房屋租赁备案或其他相关手续。这是部分地区的房屋租赁法规要求，以确保合同的公开性和透明度。

六、保留证据与留存合同

签署后的合同应妥善保管，您和房东都应保留一份原件或复印件作为证据。同时，保留财务往来的转账记录或收据作为凭证。这是根据《民事诉讼法》等证据法律规定，合同及相关凭证是解决纠纷的重要依据。

七、注意时效性

补签合同应尽量在租赁关系实际发生后的合理时间内完成，以避免因时间过长而导致的法律风险或纠纷。虽然法律未明确规定补签合同的时效性，但及时补签有助于维护双方的合法权益，避免不必要的法律纠纷。

八、遵守合同约定

一旦合同签订，您和房东都应严格遵守合同约定，履行各自的义务和责任。这是合同法的基本要求，也是维护双方权益的关键。

综上所述，补签房屋租赁合同是一个涉及多个法律知识点的复杂过程。为了确保合同的合法性和有效性，建议您和房东充分沟通、准备详尽的合同文本、严格遵循签署程序，并妥善保管合同及相关凭证。如遇疑问或争议，建议及时咨询专业的法律人士或机构以获取帮助和指导。