结论：是否构成敲诈勒索，需结合具体情形判断，不能仅凭“过了好久索要医药费”这一行为直接认定。以下从不同角度进行分析：
一、敲诈勒索的构成要件
敲诈勒索罪，是指以非法占有为目的，对被害人使用实施恐吓、威胁或要挟的方法，非法占用被害人公私财物，从而构成犯罪。其构成要件包括：
- 主观方面：具有非法占有的目的，即意图通过威胁、要挟等手段，迫使被害人交付财物，且该财物并非其合法应得。
- 客观方面：实施了威胁、要挟等行为，使被害人产生恐惧心理，进而交付财物。
- 客体：侵犯了公私财物的所有权以及他人的人身权利或者其他权益。
- 客观要件：存在具体的威胁、要挟行为，且该行为与被害人交付财物之间存在因果关系。
二、具体情形分析
若索要医药费有合理依据：
- 即便打架时双方未立即表现出受伤，但若事后一方确实因打架行为导致身体受伤，并产生了医疗费用，那么其索要医药费的行为具有合理性。
- 在此情况下，若索要方未使用威胁、要挟等非法手段，而是通过协商、调解或诉讼等合法途径主张权利，则不构成敲诈勒索。
若索要医药费无合理依据：
- 若打架时双方均未受伤，或受伤情况与打架行为无直接关联，而一方却以打架为由索要医药费，且数额明显超出合理范围。
- 若索要方使用了威胁、要挟等非法手段，如声称若不支付医药费将采取暴力、报复等行动，迫使对方交付财物，则可能构成敲诈勒索。
三、法律建议
对于索要方：
- 应确保索要医药费的行为有合理依据，如提供医疗证明、费用清单等证据。
- 避免使用威胁、要挟等非法手段，应通过合法途径主张权利，如协商、调解或诉讼。
对于被索要方：
- 若认为索要医药费的行为无合理依据，或索要方使用了非法手段，可拒绝支付并保留相关证据。
- 可向公安机关报案，由公安机关依法调查处理。若构成敲诈勒索，索要方将承担刑事责任。
四、可能的法律后果
若构成敲诈勒索：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。
若不构成敲诈勒索：
- 双方可通过协商、调解或诉讼等合法途径解决纠纷，不会承担刑事责任。
总结：是否构成敲诈勒索，需结合索要医药费的行为是否有合理依据、是否使用了非法手段以及具体情节等因素进行综合判断。若您或他人涉及此类纠纷，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供法律建议。