在以下几种法定情形下，用人单位开除员工无需支付经济补偿：

1. 试用期内被证明不符合录用条件：

   • 用人单位需明确录用条件，并留存相关考核证据，证明员工在试用期内确实不符合录用条件。例如，若录用条件中明确要求员工需具备某项专业技能，而员工在试用期内未能通过相关技能考核，用人单位即可据此开除员工且无需支付经济补偿。

2. 严重违反用人单位的规章制度：

   • 规章制度应经民主程序制定，并向劳动者公示。员工的行为需达到严重程度，如多次旷工、擅自离岗、严重违反考勤制度或工作纪律等。例如，若公司规章制度中明确规定员工每月旷工超过3天即视为严重违反规章制度，某员工连续两个月旷工均超过3天，用人单位即可据此开除该员工且无需支付经济补偿。

3. 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害：

   • 需明确界定“重大损害”的标准，并有相关证据证明损失情况。例如，财务人员挪用公款导致公司重大经济损失，或员工因故意或重大过失导致公司生产事故，造成重大财产损失或人员伤亡等。在这些情况下，用人单位可开除员工且无需支付经济补偿。

4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正：

   • 若员工在与其他用人单位建立劳动关系的同时，未能妥善安排时间，导致本单位工作任务受到严重影响，或者经用人单位提出后，员工拒不改正其兼职行为，用人单位可开除该员工且无需支付经济补偿。

5. 因劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，致使劳动合同无效：

   • 若员工在订立或变更劳动合同时，采用欺诈、胁迫等手段，导致劳动合同无效，用人单位可开除该员工且无需支付经济补偿。例如，员工在应聘时提供虚假学历证明或工作经历，导致用人单位在违背真实意思的情况下与其订立劳动合同。

6. 被依法追究刑事责任：

   • 包括被人民法院判处刑罚等情形。若员工因犯罪被判处刑罚，用人单位可依据生效的司法文书开除该员工且无需支付经济补偿。

法律建议与后果：

• 用人单位在开除员工时，应确保有充分证据证明相关事实存在，且规章制度的制定和公示等程序要合法合规。否则，仍可能面临支付赔偿金的风险。
• 员工在面临开除时，应仔细审查用人单位的开除理由是否合法合规。若认为用人单位的开除行为违法，员工可通过劳动仲裁或诉讼等合法途径维护自身权益。

举例说明：

• 假设某公司员工小李在试用期内未能通过公司组织的销售技能考核，且多次未能完成基本销售任务。公司经研究决定，认为小李不符合录用条件，遂依据相关规定开除小李且未支付经济补偿。此情况下，公司的开除行为是合法的。
• 再假设某公司员工小张严重违反公司考勤制度，连续一个月旷工超过规定天数。公司经研究决定，认为小张的行为已构成严重违反规章制度，遂依据相关规定开除小张且未支付经济补偿。此情况下，公司的开除行为同样是合法的。

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