打人和被打人之间主要构成的是侵权法律关系，具体来说，是侵犯人身权的法律关系。以下从不同角度为您详细分析：
一、法律关系性质
在打人与被打人的情境中，打人者实施了侵害他人身体的行为，这直接侵犯了被打者的人身权，特别是生命健康权。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有生命权、身体权、健康权等人格权利，任何组织或者个人不得侵害。因此，打人者与被打者之间形成了一种侵权法律关系，其中打人者是侵权人，被打者是受害人。
二、法律责任
民事责任：
- 打人者需要承担民事赔偿责任，包括赔偿被打者的医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 如果造成残疾，还需要赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还需要赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
行政责任：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
- 如果存在结伙殴打、伤害残疾人、孕妇、未成年人或老年人，或者多次殴打、伤害他人等情形，处罚会更重。
刑事责任：
- 如果打人行为构成犯罪，如故意伤害罪，打人者将面临刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》的规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
三、实际案例与法律适用
在实际案例中，法院会根据打人行为的严重程度、被打者的受伤情况以及双方的主观过错等因素，综合判断打人者应承担的法律责任。例如，如果打人行为只是轻微伤，且打人者有悔过表现，可能只会受到行政处罚；但如果打人行为导致被打者重伤或死亡，且打人者主观恶意明显，那么打人者将可能面临刑事处罚。
四、建议与后续行动
- 如果您是被打者，建议及时报警并保留相关证据，如医疗记录、现场照片或视频等，以便后续维权。
- 如果您是打人者，建议立即停止侵害行为，并主动与被打者协商赔偿事宜，以减轻法律责任。
- 无论您是打人者还是被打者，都建议咨询专业律师，以便更准确地了解自己的法律权利和义务。
总结来说，打人和被打人之间构成的是侵犯人身权的侵权法律关系，打人者可能需要承担民事责任、行政责任甚至刑事责任。如果您有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。