判决书下达后，被告在法定上诉期限内仍有起诉（此处应为上诉）的权利，但超过该期限则通常不能上诉，不过存在特定情形时可申请再审。以下是对此问题的详细分析：
上诉期限与权利
上诉期限：判决书送达后，被告通常享有法定的上诉期限。在民事案件中，这一期限一般为15天；在刑事案件中，上诉期限则可能为10天（具体期限可能因案件类型和法律规定而有所不同）。此期限从判决书送达之日起算。
上诉权利：在上诉期限内，被告如对判决结果不服，有权向上一级法院提出上诉。上诉时，被告需要提交上诉状，明确上诉的理由和请求。
超过上诉期限的后果
判决生效：如果被告在上诉期限内未提出上诉，判决书将发生法律效力，双方需依照判决履行各自义务。
申请再审：尽管判决生效后被告通常不能上诉，但如果存在判决确有错误、发现新的证据等法定情形，被告可以通过审判监督程序申请再审。再审程序是对已经发生法律效力的判决、裁定，发现确有错误时，依法对案件进行重新审理的程序。但需要注意的是，申请再审有严格的条件和程序限制，并非随意可以启动。
特殊情况下的处理
不可抗力等法定事由：如果被告在上诉期内因不可抗力等法定事由导致无法提起上诉，可在障碍消除后的10日内申请顺延上诉期限。这是否被准许，由人民法院裁定。
再审申请的审查：即使被告提出了再审申请，法院也会对再审申请进行审查。只有符合法定情形的，法院才会裁定再审。
实例说明
假设一起民事合同纠纷案件中，法院作出了一审判决，并送达给了被告。被告在收到判决书后的第10天决定上诉，这是在其法定的15天上诉期限内，因此被告有权向上一级法院提出上诉。但如果被告在收到判决书后的第20天才决定上诉，此时已经超过了上诉期限，判决书已经发生法律效力，被告通常不能再上诉。不过，如果被告认为判决存在错误，并发现了新的证据，他可以在判决生效后的一定时间内（如6个月内）通过审判监督程序申请再审。
建议：如果您作为被告对判决书有异议，务必在法定的上诉期限内及时提出上诉，以维护自己的合法权益。如果错过了上诉期限，但认为判决存在错误，也可以考虑通过审判监督程序申请再审。不过，再审程序的条件和程序限制较为严格，建议您在决定申请再审前咨询专业律师的意见。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。