行政机关履行行政复议决定的期限，主要依据《行政复议法》的相关规定来确定，具体可以分为以下几种情况：
一般期限：
- 行政复议机关应当自受理申请之日起六十日内作出行政复议决定。这是行政复议决定的最常见和基本的期限要求，旨在确保行政复议的效率和及时性，保障申请人的合法权益。
特殊期限：
- 如果其他法律（全国人大及其常委会通过的法律）规定的行政复议期限少于六十日，那么应按照该特殊法律规定的期限执行。例如，在某些特定领域，如外国人出入境管理、集会游行示威等，法律可能规定了更短的复议期限。
延长期限：
- 在某些情况下，由于案件复杂或其他正当理由（如涉及较多事实认定、法律适用疑难问题、需要进行大量调查取证等），行政复议机关可能无法在六十日内作出决定。此时，经行政复议机关负责人批准，可以适当延长复议期限，但延长期限最多不超过三十日。
- 延长期限的决定必须及时告知申请人和被申请人，并明确说明延长的理由，以确保程序的透明性和公正性。
行政复议期限的计算与不计入情形：
- 行政复议机关作出行政复议决定的期间六十日，不按工作日计算，具有不间断性。节假日在期间中间的并不扣除，只是规定期间最后一日为节假日的，以节假日之后第一日为期间届满之日。
- 以下情形不计入行政复议的审理期限：
- 行政复议申请材料不齐全或表述不清楚，需要申请人补正材料的，补正申请材料所用时间不计入审理期限。
- 申请人就同一事项向两个或两个以上有权受理的行政机关申请行政复议，行政机关之间协商确定受理机关或由其共同上一级行政机关指定受理机关的时间，不计入审理期限。
- 需现场勘验的，现场勘验所用时间以及鉴定所用时间也不计入审理期限。
- 行政复议机关收到行政复议申请后，应当在五日内进行审查。这五日的审查期限同样不计算在作出复议决定的六十日或延长的三十日内。
法律后果与建议：
- 如果行政复议机关未能在规定期限内作出决定，申请人可以依法提出异议或寻求其他法律救济途径，如提起行政诉讼等。
- 在实际操作中，申请人应充分了解行政复议的期限规定，以便更好地维护自己的合法权益。如果认为复议机关的处理存在不当或延误，可以及时咨询专业律师，获取法律建议和帮助。
总结：
行政机关履行行政复议决定的期限是一个既严格又灵活的概念。它要求复议机关在合理时间内作出决定，以保障申请人的合法权益和行政效率；同时，也允许在特定情况下适当延长期限，以应对复杂案件或特殊情况。在实际应用中，当事人应充分了解这些规定，并根据自己的具体情况来判断复议决定的合理期限。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。