针对您提出的“投毒危害公共安全罪是否包括动物以及如何立案”的问题，我将结合相关法律法规和实际案例，为您进行详细解答。
首先，需要明确的是，我国法律中并没有直接规定“给动物投毒罪”。但是，投毒行为如果危害了公共安全，或者针对特定动物造成了财物损失，可能会触犯其他相关罪名。
一、投毒行为可能触犯的罪名
投放危险物质罪：
- 如果投毒行为发生在公共场所，如公共养殖区域、村庄饮用水源地等，且对不特定多数人的生命、健康或重大公私财产安全构成了威胁，那么这种行为可能构成投放危险物质罪。
- 此罪为行为犯，即只要实施了投毒行为并危害了公共安全，就可能构成犯罪，无需实际造成严重后果即可立案。
故意毁坏财物罪：
- 如果投毒行为是针对特定个人饲养的动物，且未危害公共安全，但动物价值达到一定标准（如5000元以上），则可能构成故意毁坏财物罪。
- 例如，为报复他人而毒死其名贵宠物犬，且宠物犬价值达到数额较大标准，就可能构成此罪。
其他相关罪名：
- 如果投毒的动物是用于生产经营活动的，如养殖场的种畜、耕牛等，且投毒行为破坏了他人的生产经营活动，则可能构成破坏生产经营罪。
- 如果投毒的对象是国家重点保护的珍贵、濒危野生动物，无论是否出于故意，都可能构成非法猎捕、杀害国家重点保护的珍贵、濒危野生动物罪。
二、立案条件
投放危险物质罪的立案条件：
- 投毒行为发生在公共场所，且对公共安全构成了威胁。
- 无需实际造成严重后果，只要行为具有危害公共安全的危险性即可立案。
故意毁坏财物罪的立案条件：
- 投毒行为是针对特定个人饲养的动物。
- 动物价值达到一定标准（如5000元以上）。
- 投毒者主观上具有故意毁坏他人财物的意图。
三、实际案例与法律分析
以您提供的案例为例：小朱为报复小丽，在其家院门口给小丽的名贵宠物狗投放了毒药，导致宠物狗死亡。小丽发现后报警。
- 在此案例中，小朱的行为未在公共场所实施，没有危害公共安全，因此不符合投放危险物质罪的构成要件。
- 但是，小朱针对小丽特定饲养的价值6000元的宠物狗投毒，导致其死亡，且宠物狗价值达到了数额较大标准，因此小朱的行为涉嫌故意毁坏财物罪，应予以立案追诉。
四、建议与总结
投毒动物的行为严重违反法律法规，不仅可能对他人财产造成损失，还可能危及公共安全和生态环境。因此，我建议您：
- 增强法律意识，尊重生命，遵守法律，避免进行任何危害他人或动物的行为。
- 如果发现投毒行为，应及时向相关部门举报，以维护社会和谐与法治秩序。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时告诉我。