在火车站广场私自飞无人机，这种行为通常被称为“黑飞”，即未经许可或未在规定空域内进行的无人机飞行活动。根据相关法律法规，这种行为可能会面临一系列的处罚。
首先，需要明确的是，火车站广场及其周边区域往往属于管制空域或敏感区域，这些区域对无人机的飞行有严格的限制。未经相关部门批准，私自在此类区域放飞无人机，很可能触犯法律法规。
具体到处罚措施，根据《无人驾驶航空器飞行管理暂行条例》以及地方性的铁路安全管理条例等相关规定，“黑飞”行为可能会面临以下处罚：
罚款：根据违规情节的轻重，罚款金额可能从几百元到数千元不等。例如，有案例显示，在上海火车站北广场附近禁飞空域违规飞行的男子被罚款一百元，而在威远高铁站违规飞行的男子则被罚款五百元。
没收无人机：在严重违规的情况下，相关部门有权没收违规飞行的无人机。
吊销许可证件：如果违规者持有无人机飞行相关的许可证件，如飞行执照等，相关部门还可能吊销其证件。
其他法律责任：根据违规行为的性质和后果，违规者还可能面临其他法律责任，如行政拘留等。
为了避免这些处罚，无人机爱好者在飞行前应该做好以下几点：
了解并遵守相关法律法规：熟悉无人机飞行的相关规定，特别是关于管制空域和敏感区域的规定。
进行实名登记：按照相关规定，对无人机进行实名登记。
提前报备：如果计划在特定区域飞行，应提前向相关部门报备并获得批准。
使用合法软件或服务查询适飞区域：如通过“随申办”等软件或服务查询所放飞区域是否属于适飞区域。
总之，私自飞无人机在火车站广场等敏感区域是违法的，可能会面临罚款、没收无人机、吊销许可证件等处罚。为了自身和他人的安全，请务必遵守相关法律法规，合法飞行。