结论前置：车贷逾期后，若贷款机构未经合法程序私自拖走车辆，该行为构成违法。借款人应了解自身权益，并在必要时通过法律途径维护自己的合法权益。

详细分析：

一、贷款机构私自拖车的违法性

1. 侵犯财产权：车辆作为借款人的个人财产，受法律保护。贷款机构在未经借款人同意或未通过法律程序的情况下，私自拖走车辆，即构成对借款人财产权的侵犯。

2. 非法行使强制权：拖车行为实际上涉及强制扣押权的行使。根据法律规定，这种权力应由司法机关或行政机关依法行使。贷款机构作为民事主体，不具备行使强制扣押权的资格和权力。

3. 违反合同约定与法定程序：即便贷款合同中约定了拖车条款，贷款机构也必须严格按照合同约定的程序和方式进行拖车。若合同中未明确约定或贷款机构违反了约定程序，则拖车行为同样构成违法。

二、合法处理车贷逾期的途径

1. 协商与沟通：贷款机构在发现借款人逾期后，应首先与借款人进行协商，了解逾期原因，并尝试达成还款协议。

2. 法律诉讼：若协商无果，贷款机构可以通过法律途径，如向人民法院提起诉讼，来实现对车辆的抵押权。在法院作出相应判决后，贷款机构才能依据判决结果对车辆进行处置。

3. 申请强制执行：在获得法院判决后，若借款人仍不履行还款义务，贷款机构可以申请法院强制执行，通过合法程序对车辆进行拍卖或变卖，以实现债权。

三、借款人应对违法拖车行为的措施

1. 要求归还车辆：借款人发现车辆被私自拖走后，有权要求贷款机构立即归还车辆。

2. 报警与投诉：若贷款机构拒绝归还车辆或借款人认为拖车行为违法，可以向公安机关报案，并向相关金融监管部门投诉。

3. 法律诉讼与赔偿：借款人可以收集相关证据（如贷款合同、车辆被拖走的现场照片或视频、与贷款机构沟通的记录等），通过向人民法院提起诉讼的方式来维护自己的合法权益。因拖车行为给借款人造成损失的，借款人可以要求贷款机构进行赔偿。

法律建议：

• 借款人在签订贷款合同时，应仔细阅读合同条款，特别是关于逾期处理和拖车条款的内容，确保自己了解并同意相关约定。
• 贷款机构在处理车贷逾期问题时，应严格遵守法律法规和合同约定，通过合法途径来维护自己的权益。
• 借款人在遇到违法拖车行为时，应保持冷静和理性，及时采取合法措施维护自己的合法权益。

可能法律后果：

• 若贷款机构私自拖车行为被认定为违法，可能需要承担侵权责任，包括赔偿借款人因拖车行为造成的损失。
• 借款人若通过法律途径成功维权，可能获得车辆归还、损失赔偿等法律救济。

总之，车贷逾期后，贷款机构必须遵循合法程序和合同约定来处理逾期问题，私自拖车行为构成违法。借款人应充分了解自身权益，并在遇到违法拖车行为时及时采取合法措施维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。