网上骗取价值一千多元的礼物，该行为构成诈骗，但尚未达到诈骗罪的刑事立案标准，而是属于违反《中华人民共和国治安管理处罚法》的行为，将受到相应的治安处罚。以下从不同角度为您详细分析：
一、诈骗行为的认定
诈骗是指以非法占有为目的，通过虚构事实或隐瞒真相的方式骗取公私财物的行为。在网上骗取礼物的情境中，如果对方使用了虚假的身份信息、编造了虚假的故事或理由来诱导您赠送礼物，且其目的在于非法占有这些礼物，那么该行为就构成了诈骗。
二、诈骗罪的立案标准
根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，诈骗公私财物数额较大的才构成诈骗罪。具体而言，《最高人民法院、最高人民检察院关于办理诈骗刑事案件具体应用法律若干问题的解释》第一条规定，诈骗公私财物价值三千元至一万元以上为“数额较大”的起点。因此，诈骗一千多元的礼物，虽然构成了诈骗行为，但并未达到诈骗罪的刑事立案标准。
三、法律后果
尽管诈骗一千多元的礼物不构成诈骗罪，但这种行为仍然违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》。根据该法第四十九条的规定，对于诈骗公私财物的行为，将处以五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款；情节较重的，将处以十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款。
四、实际建议
收集证据：如果您认为自己遭遇了诈骗，应及时收集相关证据，如聊天记录、转账记录、对方的身份信息等。这些证据将有助于您后续维权。
报案处理：您可以向当地的公安机关报案，由司法机关进行调查和判断。虽然该行为不构成诈骗罪，但公安机关仍会依法对其进行处理。
提高警惕：在日常生活中，您应提高警惕，学会识别并防范各种诈骗手段。特别是在网上交流时，不要轻易相信陌生人的身份和故事，避免上当受骗。
总结来说，网上骗取价值一千多元的礼物虽然不构成诈骗罪，但仍然是一种违法行为，将受到治安管理处罚法的制裁。因此，我建议您严格遵守法律法规，远离任何形式的诈骗行为。如果您有任何疑虑或担忧，或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。