公司想要开除员工，必须遵循严格的法律程序和条件，以确保劳动者的合法权益得到保护。以下是根据我国《劳动合同法》及相关规定，公司开除员工应遵循的要点：
一、绝对的单方解除权情况
在以下特定情形下，公司享有绝对的单方解除权，即无需向劳动者支付经济补偿即可解除劳动合同：
试用期间不符合录用条件：若员工在试用期间被证明不符合公司设定的录用条件，公司有权解除劳动合同。
严重违反规章制度：员工若严重违反公司的规章制度，如旷工、偷窃、打架斗殴等，公司有权解除劳动合同。
严重失职或营私舞弊：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害的，公司有权解除劳动合同。
同时与其他单位建立劳动关系：若员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本单位工作任务造成严重影响，或经公司提出后拒不改正的，公司有权解除劳动合同。
劳动合同无效：因员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，导致劳动合同无效的，公司有权解除劳动合同。
被依法追究刑事责任：员工若被依法追究刑事责任，公司有权解除劳动合同。
二、有条件的单方解除权情况
在以下情形下，公司需提前三十日以书面形式通知员工本人，或额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同：
患病或非因工负伤：员工患病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作的。
不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后，仍不能胜任工作的。
客观情况发生重大变化：劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经公司与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
三、经济性裁员
在以下情形下，公司需提前三十日向工会或全体职工说明情况，听取工会或职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，方可裁减人员：
依照企业破产法规定进行重整。
生产经营发生严重困难。
企业转产、重大技术革新或经营方式调整：经变更劳动合同后，仍需裁减人员的。
其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化：致使劳动合同无法履行的。
四、通知工会程序
无论公司基于何种理由解除劳动合同，都应当事先将理由通知工会。若公司未设立工会，则应通过召开职工代表会议或向当地总工会征求意见的变通方式来履行告知义务。未履行这一法定程序，即构成违法解除劳动合同。
五、禁止解除劳动合同的情形
在以下情形下，公司不得单方解除劳动合同：
从事接触职业病危害作业的劳动者未进行离岗前职业健康检查，或疑似职业病病人在诊断或医学观察期间的。
在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的。
患病或非因工负伤，在规定的医疗期内的。
女职工在孕期、产期、哺乳期的。
在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的。
法律、行政法规规定的其他情形。
六、经济补偿
在符合有条件单方解除劳动合同或经济性裁员的情形下，公司还需向被解雇的员工支付一定的经济补偿。经济补偿按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
综上所述，公司开除员工必须严格遵循法律程序和条件，以确保劳动者的合法权益得到保护。任何违反法律规定的解除行为，都可能面临法律责任和经济赔偿。