当私下借款的借款人去世，且其子女尚未成年时，关于债务的清偿问题，我们可以从法律层面进行详细分析：

首先，根据法律规定，当欠债人不幸离世时，其债务通常会通过其遗产来进行偿还。这意味着，如果借款人留下了足够的遗产，那么这些遗产将首先被用于清偿其债务。

在清偿债务的过程中，需要扣除一些必要的费用，如丧葬费用等。扣除这些费用后，剩余的遗产将由遗产继承人来继承，并同时承担起在继承遗产范围内还款的责任。

然而，当涉及到未成年子女作为继承人时，情况会有所不同。未成年子女继承的遗产份额应当仅限于满足其生活必需的那部分。换句话说，如果遗产的价值在扣除必要费用后，仅够维持未成年子女的基本生活，那么超出这部分的债务，未成年子女作为继承人是无需承担的。

但值得注意的是，如果未成年子女的监护人或其他继承人自愿偿还超出部分的债务，法律并不会禁止这种行为。这是一种自愿的、道德上的选择，而非法律义务。

此外，作为债权人，您有权在债务的范围内将继承人起诉至法院，要求他们在继承遗产的范围内履行还款的义务。但法院在判决时，也会综合考虑遗产的具体情况以及继承人的实际状况，确保判决的公平与公正。

综上所述，当私下借款的借款人去世且其子女未成年时，债务的清偿方式将依据具体的遗产状况以及继承人的实际情况进行全面、综合的判断。作为债权人，您可以依法维护自己的权益，但同时也需要尊重法律的规定和未成年子女的权益。