在烧烤店客人打架的情况下，店主是否承担责任需视具体情况而定，但一般而言，若店主未尽到安全保障义务，则可能需承担相应的补充责任。以下从不同角度为您详细分析：

一、店主的安全保障义务

根据《中华人民共和国民法典》第1198条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，负有在合理限度范围内保护他人人身和财产权益免受损害的安全保障义务。在烧烤店这一经营场所中，店主作为经营者和管理者，同样需要履行这一义务。

二、店主可能承担的责任

1. 若店主已尽到安全保障义务：

   • 在这种情况下，如果客人之间发生打架事件，且店主已经及时采取了必要的防范措施（如及时报警、尝试劝阻等），则店主通常不需要承担赔偿责任。因为店主已经履行了其作为经营者和管理者的基本义务。

2. 若店主未尽到安全保障义务：

   • 如果店主在客人打架时未能及时采取防范措施，或者存在管理疏忽（如刀具等危险物品管理不当，导致客人轻易获取并使用），则店主可能需要承担相应的补充责任。这种责任是在直接侵权人（即打架的客人）无法完全赔偿受害人的损失时，由店主在其未尽到安全保障义务的范围内进行补充赔偿。

三、实际案例中的责任判定

以您提供的案例为例，餐厅老板张某在客人杨某与李某打架时，虽然及时报警并尝试劝阻，但由于对餐厅刀具的管理存在疏忽，使杨某轻易取得刀具并刺伤李某。在这种情况下，法院认定张某作为餐厅的经营者和管理人未尽到有效的安全保障义务，应承担相应的补充责任。最终，张某主动提出愿意依法承担20%的补充责任并当即履行了相应赔偿款。

四、法律建议

• 加强安全管理：作为烧烤店店主，应加强对店内设施和设备的管理，特别是刀具等危险物品应妥善保管，防止客人轻易获取并使用。
• 及时采取防范措施：在发现客人之间有打架等冲突迹象时，应及时采取防范措施，如及时报警、尝试劝阻等，以防止事态扩大。
• 了解并履行安全保障义务：店主应了解并履行自己作为经营者和管理者的安全保障义务，以保障客人的人身和财产安全。

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