公司不与员工签订劳动合同是违法的。这一结论基于我国《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，下面我将从不同角度为您详细分析：
一、法律规定与违法后果
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，公司应在用工之日起一个月内完成签订。
- 第八十二条进一步规定，若公司自用工之日起超过一个月但不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资。
违法后果：
- 若公司未在规定时间内与员工签订书面劳动合同，将面临支付双倍工资的法律责任。例如，若员工月工资为5000元，公司从第二个月起持续6个月未签合同，则需额外支付30000元作为赔偿。
- 若公司自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为已与劳动者订立无固定期限劳动合同，并需从应当订立之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
二、事实劳动关系的证明
若公司未与员工签订书面劳动合同，员工在维权时可能需要证明事实劳动关系的存在。根据相关规定，以下凭证可作为证明：
- 工资支付凭证或记录（如职工工资发放花名册）、缴纳各项社会保险费的记录；
- 用人单位向劳动者发放的“工作证”、“服务证”等能够证明身份的证件；
- 劳动者填写的用人单位招工招聘“登记表”、“报名表”等招用记录；
- 考勤记录；
- 其他劳动者的证言等。
三、劳动合同的作用与意义
劳动合同不仅是劳动者实现劳动权的重要保障，也是用人单位合理使用劳动力、巩固劳动纪律、提高劳动生产率的重要手段。它明确了双方的权利和义务，有助于减少和防止劳动争议的发生。因此，公司不与员工签订劳动合同，不仅损害了员工的合法权益，也对公司自身的法律风险和经营管理带来不利影响。
四、建议与措施
对于公司：
- 应严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的规定，及时与员工签订书面劳动合同。
- 若因特殊原因无法及时签订，应尽快与员工协商并补签合同，以避免法律责任。
对于员工：
- 若公司未与您签订书面劳动合同，您有权要求公司签订，并可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁以维护自身权益。
- 在维权过程中，应收集并保存好能证明与公司存在劳动关系的证据。
综上所述，公司不与员工签订劳动合同是违法的，并可能面临支付双倍工资或被视为已订立无固定期限劳动合同的法律后果。因此，无论是公司还是员工，都应重视劳动合同的签订与履行。如果您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。