结论：未经同意且未经国家审批，私自在公婆宅基地上建房居住是不合法的，且在这种情况下，一般无法获得合法的补偿。
一、合法性分析
宅基地使用权：宅基地使用权是农村村民对集体所有的土地享有的占有和使用的权利，它主要用于建造住宅及其附属设施。这种使用权通常是通过家庭承包方式取得，且具有一定的身份属性，即一般仅限于本集体经济组织的成员。
未经同意建房：若未经宅基地使用权人（在此情况下为公婆）的同意，私自在宅基地上建房，这侵犯了宅基地使用权人的合法权益。宅基地使用权人有权要求停止侵害、排除妨碍或赔偿损失。
未经国家审批：在农村地区，任何建设活动都需要经过相关部门的审批，以确保符合土地利用规划和城乡建设规划。未经审批擅自建房，属于违法建设行为，可能会面临行政处罚，如罚款、责令拆除等。
二、补偿问题
非法建设的补偿原则：一般来说，对于非法建设，即未经审批或违反规划的建设行为，政府或相关部门在拆迁或征收时，是不会给予补偿的。因为非法建设本身就不受法律保护。
特殊情况：虽然非法建设通常无法获得补偿，但在某些特殊情况下，如因历史原因形成的非法建设或政府为了公共利益需要而进行的拆迁，可能会考虑给予一定的补偿或安置。然而，这种情况非常罕见，且需要具体的法律和政策依据。
法律后果：如果私自在公婆宅基地上建房且未经审批，一旦被发现，可能会面临被责令拆除的风险。在拆迁或征收时，由于房屋属于非法建设，因此无法获得合法的补偿。
三、建议与措施
停止违法行为：首先，应立即停止在公婆宅基地上的非法建房行为，以避免进一步的法律后果。
协商解决：与公婆进行协商，看是否能够达成一致意见，如通过合法途径转让宅基地使用权或共同使用宅基地等。
申请审批：如果确实需要在该宅基地上建房，应依法向相关部门申请审批，获得合法的建设许可后再进行建设。
寻求法律帮助：如果面临拆迁或征收且无法获得合法补偿的情况，建议寻求专业的法律帮助，以了解自己的权益和可能的救济途径。
总结：未经同意且未经国家审批私自在公婆宅基地上建房居住是不合法的行为，且在这种情况下一般无法获得合法的补偿。因此，建议遵守相关法律法规和政策规定，通过合法途径解决宅基地使用和建房问题。如果有任何法律问题，可以直接向我咨询。