公安机关刑事立案后的拘留期限，一般情况下最长为14天，特殊情况下最长可延长至37天。具体分析如下：

一、一般情况下的拘留期限

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关对被拘留的人，如果认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。因此，一般情况下，刑事拘留的期限为拘留后的三日加上延长的一日至四日，再加上人民检察院审查批准的七日，总共不超过十四日。

二、特殊情况下的拘留期限

对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。这意味着，在特殊情况下，公安机关可以在拘留后的三十日内提请人民检察院审查批准。再加上人民检察院审查批准的七日，特殊情况下刑事拘留的期限最长可达三十七日。

三、拘留期限后的处理

1. 批准逮捕：如果人民检察院批准逮捕，那么犯罪嫌疑人将会被继续羁押，并接受进一步的侦查和审判。
2. 不批准逮捕：如果人民检察院不批准逮捕，公安机关应当在接到通知后立即释放犯罪嫌疑人，或者变更强制措施，如取保候审或监视居住。

四、注意事项

• 拘留期限的计算：拘留期限通常从被拘留人被送入看守所之日起计算。
• 法律程序的严格性：公安机关在拘留犯罪嫌疑人时，必须严格遵守法律程序，确保拘留的合法性和必要性。
• 犯罪嫌疑人的权利：犯罪嫌疑人在被拘留期间，有权委托律师进行辩护，并有权了解自己的罪名和案件情况。

举例说明：

假设某犯罪嫌疑人因涉嫌盗窃罪被公安机关拘留。在一般情况下，公安机关应在拘留后的三日内提请人民检察院审查批准逮捕。如果案件情况复杂，需要延长提请审查批准的时间，那么最长可以在拘留后的七日内提请。再加上人民检察院审查批准的七日，该犯罪嫌疑人的拘留期限最长可达十四日。如果该犯罪嫌疑人属于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，那么公安机关可以在拘留后的三十日内提请人民检察院审查批准逮捕，此时拘留期限最长可达三十七日。

建议：

• 如果您或您的亲友被公安机关拘留，建议尽快委托律师进行辩护，以了解案件情况并维护合法权益。
• 在拘留期间，犯罪嫌疑人应积极配合公安机关的调查工作，如实陈述案件事实。
• 如果对拘留期限或法律程序有疑问，可以直接向我咨询，我将为您提供专业的法律意见。