当遇到对方不按合同履行付款义务的情况时，您可以按照以下步骤来处理，以维护自身的合法权益：
一、确认合同条款及违约责任
首先，您需要仔细审查合同中关于付款的具体条款，包括付款时间、方式、金额以及违约责任等。明确对方未按合同约定履行付款义务，即构成违约，您有权要求其承担相应的违约责任。
二、发函催告
在确认对方违约后，您可以先通过书面形式发函催告，明确告知对方其违约事实及后果，并限定一个合理的付款期限。在催告函中，您可以要求对方在规定期限内履行付款义务，否则将承担进一步的法律责任，如支付违约金、赔偿损失等。
三、采取法律措施
如果催告后对方仍未履行付款义务，您可以根据合同中的争议解决方式来采取进一步的法律措施：
仲裁：如果合同中约定了仲裁条款，您可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁机构将根据合同条款和实际情况，对双方争议进行裁决，并要求违约方承担相应的责任。
诉讼：如果合同中没有约定仲裁条款，或者您选择不通过仲裁解决争议，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要准备好相关证据，如合同文本、交付凭证、催告函等，以证明对方未按约付款。法院将根据审理情况作出判决，要求违约方履行付款义务并承担违约责任。
四、注意诉讼时效
在采取法律措施时，您需要注意诉讼时效的问题。一般来说，民事纠纷的诉讼时效为三年。您需要在时效内主张权利，避免因超过时效而丧失胜诉权。
五、保留证据
在整个处理过程中，您需要保留好所有与合同履行和违约相关的证据。这些证据可能包括合同文本、沟通记录、交易记录、催告函等。这些证据将在仲裁或诉讼过程中发挥重要作用，帮助您证明对方的违约行为并维护自身的合法权益。
六、寻求专业帮助
如果您在处理过程中遇到困难或不确定如何操作，您可以寻求专业律师或法律机构的帮助。他们可以提供专业的法律意见和指导，帮助您更好地维护自身的权益。
总之，当遇到对方不按合同履行付款义务的情况时，您需要保持冷静并采取相应的法律措施来维护自身的合法权益。通过确认合同条款、发函催告、采取法律措施、注意诉讼时效以及保留证据等步骤，您可以有效地解决这一问题。