核心结论：若黑客利用您家庭网络从事攻击政府网页的行为，您可能面临法律责任风险，需立即采取措施自证清白并配合调查，同时可通过技术手段固定证据、寻求法律帮助。以下是具体分析：

1. 法律责任风险

根据《中华人民共和国刑法》第286条（破坏计算机信息系统罪），若黑客通过您的网络实施攻击，且您存在“明知”或“应知”网络被利用而未采取措施的情况，您可能被认定为共犯或承担间接责任。

• 关键点：法律认定需证明您主观上是否存在过错（如未设置基本网络安全措施、长期放任网络异常等）。
  
• 例外情形：若您能证明网络被入侵完全超出控制范围（如路由器漏洞被利用、未设置密码等），且及时采取补救措施，可能免除或减轻责任。

2. 立即采取的行动

• 第一步：切断网络并保留证据
  立即断开家庭网络连接，防止攻击扩大，同时保存路由器日志、设备访问记录等电子证据（可通过截图、备份等方式固定）。
  
• 第二步：报警并配合调查
  向当地公安机关网安部门报案，说明网络被入侵的情况，主动提交证据。根据《网络安全法》第27条，网络运营者有义务协助调查网络攻击事件。
  
• 第三步：委托技术鉴定
  联系第三方网络安全机构对网络被入侵的路径、时间、攻击源等进行技术鉴定，出具专业报告，证明攻击行为与您无关。

3. 后续法律应对

• 若被列为嫌疑人：
  公安机关可能传唤您协助调查，此时需如实陈述事实，强调对攻击行为不知情，并提交技术鉴定报告、网络使用记录等证据。
  
• 若遭受损失：
  若攻击导致您的设备损坏或数据丢失，可依据《民法典》第1165条（过错责任原则）向黑客或实际侵权人主张赔偿，但需证明损失与攻击行为的因果关系。

4. 预防措施

• 技术层面：
  修改路由器默认密码、启用WPA2加密、关闭UPnP功能、定期更新固件，防止被利用为“跳板”。
  
• 法律层面：
  保留网络使用记录（如设备登录时间、IP分配记录），建议安装网络审计软件，以备后续自证。

温馨提示：网络攻击事件涉及技术鉴定与法律责任的交叉问题，建议同步委托律师与网络安全专家协同处理。若您需要进一步分析证据链或制定应对策略，可直接向我咨询具体细节。