公司和员工解除劳动关系的操作方法主要依据《劳动合同法》的相关规定，以下是详细、清晰的解答：

一、协商一致解除劳动合同

根据《劳动合同法》第36条，用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这种方式可以是劳动者提出，也可以是用人单位提出。无论双方订立的是固定期限劳动合同还是无固定期限合同，只要协商一致，均可以解除。这种方式通常不会引发劳动争议，是较为理想的解除方式。

操作要点：

• 双方应就解除劳动合同的相关事宜（如经济补偿、工作交接等）进行充分协商。
• 达成一致后，应签订书面解除协议，明确双方的权利和义务。

二、劳动者存在过失时解除劳动合同

根据《劳动合同法》第39条，劳动者存在过失时，用人单位可以解除劳动合同。这些过失包括：

• 在试用期间被证明不符合录用条件的；
• 严重违反用人单位的规章制度的；
• 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
• 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
• 因《劳动合同法》第26条第1款第1项规定的情形致使劳动合同无效的；
• 被依法追究刑事责任的。

操作要点：

• 用人单位应制定完善的规章制度，并确保其内容合法、程序合规。
• 解除劳动合同时，应查实劳动者存在违法、违纪或者不符合录用条件的事实。
• 单方面解除劳动合同时，应事先将理由通知工会，并研究工会的意见，将处理结果书面通知工会。

三、劳动者无过失情形下解除劳动合同

根据《劳动合同法》第40条，劳动者无过失情形下，用人单位可以提前30日书面通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后解除劳动合同。这些情形包括：

• 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
• 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
• 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。

操作要点：

• 用人单位应提前30日以书面形式通知劳动者本人，或者选择额外支付一个月工资后与其解除劳动合同。
• 同样，应事先将理由通知工会，并遵循工会的意见。

四、经济性裁减人员解除劳动合同

在法定情形下，用人单位可以通过经济性裁减人员解除劳动合同，这主要体现在《劳动合同法》第41条。裁减人员时，应优先留用与本单位订立较长期限的固定期限劳动合同的、与本单位订立无固定期限劳动合同的、家庭无其他就业人员且有需要扶养的老人或者未成年人的劳动者。

操作要点：

• 用人单位应依法进行经济性裁减，确保裁减程序的合法性和公正性。
• 裁减后，在6个月内重新招用人员的，应通知被裁减的人员，并在同等条件下优先招用。

五、实际操作中的注意事项

• 遵循法定程序：无论采用哪种方式解除劳动合同，都应严格遵循法定程序，确保操作的合法性和有效性。
• 保留相关证据：在解除劳动合同过程中，应保留好相关证据（如协商记录、规章制度、通知工会等），以备不时之需。
• 关注劳动者权益：在解除劳动合同时，应关注劳动者的合法权益，确保经济补偿等事宜得到妥善处理。

六、地方政策与便利服务

此外，一些地方（如揭阳市）推出了企业与员工解除终止劳动合同“一件事”服务，将关联的档案服务、劳动用工备案等事项提供打包办理服务，实现一套材料、一站受理、一次办结。这为企业和员工提供了更加便捷的服务体验。

综上所述，公司和员工解除劳动关系的操作方法应严格遵循《劳动合同法》的相关规定，并根据实际情况选择合适的解除方式。同时，应关注地方政策与便利服务，确保操作的合法性和有效性。