法律援助机构在提供免费法律服务时，会尽职尽责地帮助当事人处理劳动纠纷官司。以下是详细分析：

一. 法律援助的性质与责任

1. 无偿法律服务：根据《法律援助条例》第二条，符合条例规定的公民可以获得法律咨询、代理、刑事辩护等无偿法律服务。这意味着法律援助机构在提供法律服务时，不会向当事人收取费用。
2. 政府的责任：根据《法律援助条例》第三条，法律援助是政府的责任，县级以上人民政府应当采取积极措施推动法律援助工作，并提供财政支持。这表明法律援助机构有义务和责任为符合条件的公民提供高质量的法律服务。

二. 法律援助在劳动纠纷中的应用

1. 适用范围：根据《法律援助条例》第十条，公民在请求支付劳动报酬等因经济困难没有委托代理人的情况下，可以向法律援助机构申请法律援助。这表明劳动纠纷属于法律援助的适用范围。
2. 尽职尽责：法律援助机构在受理劳动纠纷案件后，会指派专业律师为当事人提供法律服务。这些律师有义务根据法律法规和职业道德，尽职尽责地为当事人争取合法权益。

三. 实际操作中的尽职尽责

• 法律援助律师会认真了解案情，收集证据，撰写法律文书，并代表当事人参加庭审等诉讼活动。
• 律师会运用自己的专业知识和经验，为当事人提供有针对性的法律建议，争取最有利的诉讼结果。

综上所述，法律援助机构在提供免费法律服务时，会尽职尽责地帮助当事人处理劳动纠纷官司。他们不仅有义务提供无偿法律服务，而且有责任确保服务的质量和效果。因此，当事人可以放心地寻求法律援助机构的帮助来解决劳动纠纷问题。