当刑事案件附带民事责任的判决下来后，您需要按照以下步骤来处理和执行这一判决：
一、理解判决内容
首先，您需要仔细阅读并理解判决书的全部内容，特别是关于民事赔偿的部分。这包括赔偿的金额、支付的方式、支付的时间等关键信息。
二、申请执行
申请执行的时间：根据法律规定，被害人或其法定代理人、近亲属需在判决规定的履行期限届满后的两年内，向一审法院提出执行申请。逾期可能会影响执行的及时性和有效性。
申请执行的流程：您需要准备相关的申请材料，如判决书、身份证明等，并提交给一审法院的执行部门。法院在收到申请后，会进行审查并决定是否受理。
三、执行措施
一旦法院受理了您的执行申请，它会采取一系列执行措施来确保判决得到履行：
财产查询与冻结：法院有权查询被执行人的存款、债券、股票、基金份额等财产情况，并根据需要冻结、划拨或变价这些财产。
查封与扣押：对于被执行人的房产、车辆等实物财产，法院可以采取查封、扣押等措施，以防止其被转移或隐匿。
强制措施：对于有能力履行却拒绝履行的被执行人，法院还可以采取司法拘留、限制高消费等强制措施。
四、参与分配与清偿顺序
如果被执行人身负多个债务，其他债权人也可以申请参与分配执行财产。在这种情况下，法院会按照法定顺序来清偿各债权人的债务，确保各方的权益得到合理保障。
五、执行中止与终结
在执行过程中，如果遇到被执行人无财产可供执行等情况，法院可能会裁定中止执行。如果被执行人丧失劳动能力且无生活来源，或者死亡且无遗产可供执行等，法院可能会裁定终结执行。
六、应对执行遇阻的情况
如果执行过程中遇到阻力，如被执行人拒不履行判决或隐匿财产等，您可以采取以下措施：
催促执行法院：依据相关法律规定，法院执行案件一般应在6个月内执行完结。如果法院超过这个期限未执行，您可以向上一级人民法院申请执行。
提供财产线索：您可以积极调查被执行人的财产状况，并向法院提供其房产、车辆、存款等财产线索，以助法院执行。
追究刑事责任：如果被执行人有能力执行却拒不执行，且情节严重，可能构成拒不执行判决、裁定罪。您可以要求法院将案件移送公安机关立案侦查，追究其刑事责任。
七、后续跟进与恢复执行
即使法院裁定终结本次执行程序，您也不必过于担心。一旦发现被执行人有可供执行的财产，您可以随时向法院申请恢复执行。
总之，刑事案件附带民事责任的判决下来后，您需要积极申请执行并配合法院的工作。同时，也要关注执行过程中的各种情况，及时采取应对措施以确保自己的权益得到保障。