在治安行政处罚过程中，若当事人提出自己患有精神疾病并以此作为抗辩理由，公安机关需要谨慎且合法地处理这一问题。以下是对此情况的详细解答：

一、法律基础与原则

根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第十三条，精神病人在不能辨认或者不能控制自己行为的时候违反治安管理的，不予处罚，但应当责令其监护人严加看管和治疗。而对于间歇性的精神病人在精神正常的时候违反治安管理的，则应当给予处罚。这一规定体现了法律对精神病人既不歧视又要保护的原则，同时也有利于维护社会治安秩序的稳定。

二、精神疾病认定的核心证据

1. 医学鉴定意见：

   • 必须由具备法定资质的鉴定机构出具。
   • 依据《精神疾病司法鉴定暂行规定》等标准，明确认定行为时的精神状态，如是否处于发病期、是否丧失辨认或控制能力。

2. 病历资料与诊疗记录：

   • 包括既往病史、用药记录、住院病历等。
   • 用以判断精神疾病与行为的关联性。若材料缺失或存在倾向性收集，可能影响鉴定结论的可信度。

3. 行为表现证据：

   • 如案发现场监控、证人证言、被害人陈述等。
   • 需证明行为人是否存在异常表现，如幻觉、妄想、攻击性行为等。

三、鉴定程序的启动与必要性

1. 司法鉴定的必要性：

   • 是否属于“不能辨认或控制行为”一般需由专业机构鉴定，以避免主观臆断。
   • 《公安机关办理行政案件程序规定》第一百五十八条明确，对精神病人是否具备责任能力需通过司法鉴定确定，但该规定未强制要求所有案件必须启动鉴定，而是强调“必要时”进行。

2. 未启动鉴定的合法性审查：

   • 若公安机关通过走访、医院病历等材料，已能形成完整证据链证明违法行为人具备责任能力（如病历显示其长期病情稳定、案发时无发病记录），且无相反证据或异议，则不启动鉴定不违法。
   • 但若拟处行政拘留、存在精神疾病抗辩或初步证据（如家属主张、行为异常），且未说明不鉴定理由或证据矛盾，则未启动鉴定可能构成程序违法。

四、具体处理流程

1. 接收抗辩与初步审查：

   • 公安机关在接到当事人的精神疾病抗辩后，应首先进行初步审查，包括查看病历资料、询问家属等。

2. 决定是否启动鉴定：

   • 根据初步审查结果，结合法律规范和司法实践，决定是否启动司法鉴定程序。
   • 若决定启动鉴定，应委托具备法定资质的鉴定机构进行。

3. 鉴定过程与结果审查：

   • 鉴定机构应按照法定程序进行鉴定，并出具书面鉴定报告。
   • 公安机关应对鉴定报告进行审查，确保其合法性和准确性。

4. 根据鉴定结果作出处罚决定：

   • 若鉴定结果显示当事人在实施违法行为时不能辨认或控制自己行为，则不予处罚，但应责令其监护人严加看管和治疗。
   • 若鉴定结果显示当事人在实施违法行为时精神正常，则应依法给予处罚。对于间歇性精神病人，在精神正常时违反治安管理的，可以从轻或者减轻行政处罚。

五、权利保障与告知义务

• 公安机关在处理涉及精神疾病患者的治安处罚案件时，应履行告知义务，说明鉴定结论及法律依据，并保障当事人的陈述、申辩权利。
• 若未告知或剥夺程序权利，行政处罚可能被撤销。

综上所述，当治安行政处罚当事人提出精神疾病鉴定时，公安机关应依法、谨慎地处理这一问题，确保鉴定程序的合法性和准确性，并根据鉴定结果依法作出处罚决定。