涉外仲裁裁决申请执行的期限为履行期限届满之日起六个月内；若为分期履行，则从每次履行期限届满之日起算六个月。以下是对此问题的详细分析：
一、涉外仲裁裁决申请执行期限的法律依据
根据相关法律规定，涉外仲裁裁决的申请执行期限与国内仲裁裁决有所不同。具体来说，涉外仲裁裁决的申请执行期限为履行期限届满之日起六个月内，这一期限是固定的，不因任何因素而延长（除非存在法律规定的特殊情形，但实践中极为罕见）。若裁决涉及分期履行，则从每次履行期限届满之日起算六个月。这一规定旨在确保仲裁裁决的及时执行，维护当事人的合法权益。
二、申请执行期限的计算与注意事项
期限计算：
- 申请执行期限自履行期限届满之日起计算。若裁决规定分期履行，则每期履行期限届满后均有一个独立的六个月申请执行期限。
- 期间以日、月、年计算，开始日不计算在内。若期间届满的最后一日为节假日，则以节假日后的第一日为届满日期。
注意事项：
- 当事人应在规定期限内及时申请执行，逾期申请的，法院可能不予受理或驳回申请。
- 申请执行时，需准备好仲裁裁决书、执行申请书等必要材料，并向有管辖权的法院提出申请。
三、涉外仲裁裁决的执行程序
国内执行：
- 若被执行人或其财产在中华人民共和国领域内，当事人可向被申请人住所地或财产所在地的中级人民法院申请执行。
- 法院受理申请后，将对仲裁裁决进行形式审查，符合执行条件的，将按照民事诉讼法的规定执行。
国外执行：
- 若被执行人或其财产不在中国境内，当事人需直接向有管辖权的外国法院申请承认和执行。
- 申请时，需提交仲裁裁决书副本、仲裁协议副本及可能需要的认证或翻译文件。
- 外国法院将依据本国法律及国际公约对裁决进行审查，决定是否予以承认和执行。
四、不予执行的情形与救济途径
不予执行的情形：
- 包括没有仲裁条款或书面仲裁协议、被申请人未得到通知或未能陈述意见、仲裁庭组成或程序不符、裁决事项超出仲裁协议范围或仲裁机构无权仲裁、执行裁决违背社会公共利益等。
- 此外，若裁决所根据的证据是伪造的，或对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据，或仲裁员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为，也可能导致裁决不予执行。
救济途径：
- 对不予执行裁定不服的，当事人可根据仲裁协议重新申请仲裁或向法院起诉。但需注意“一裁终局制”，一般不能再次申请复议或执行监督。
在实际操作中，建议当事人充分了解并遵守相关法律规定和程序要求，以确保自身权益得到有效维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。