协商延期后APP上出现律师函，可能有以下几种原因：
协商未达成正式书面协议：
- 尽管您与对方进行了协商并达成了延期还款的口头或初步意向，但如果双方并未签订正式的书面协议来确认这一延期安排，那么从法律角度讲，原债务条款可能仍然有效。此时，如果APP系统自动按照原合同条款进行债务管理，可能会触发律师函的发送机制，以提醒或催促您履行原合同义务。
协商内容未被正确更新至系统：
- 即使双方已经签订了书面的延期还款协议，但如果该协议的内容没有被及时、准确地更新到APP的系统中，APP可能仍然会按照原有的债务信息进行处理。这种情况下，系统可能会误判您的还款状态，从而发送出律师函。
对方或APP系统操作失误：
- 在处理大量债务信息时，对方或APP系统可能会出现操作失误，如错误地发送了律师函。这种失误可能是由于人为因素（如员工疏忽）或系统故障（如软件bug）导致的。
协商延期条件未满足：
- 协商延期时，双方可能约定了特定的条件（如提供担保、支付部分利息等）。如果您未能满足这些条件，对方可能会认为协商延期并未实际生效，从而选择发送律师函来维护其权益。
对方采取法律手段施压：
- 在某些情况下，即使双方已经达成了协商延期的意向，对方也可能出于施压或催促的目的，故意发送律师函。这种做法可能是为了促使您更快地履行还款义务，或者是在为可能的法律诉讼做准备。
针对上述情况，我建议您采取以下措施：
- 核实协商延期协议：首先，确认您与对方是否已经签订了正式的书面延期还款协议，并检查协议内容是否准确无误。
- 联系对方或APP客服：如果确认已经签订了协议但APP上仍然显示律师函，建议您及时联系对方或APP客服，说明情况并要求他们更新系统信息。
- 保留相关证据：在处理此类问题时，务必保留好所有与协商延期相关的证据（如协议文本、聊天记录等），以备不时之需。
- 寻求法律帮助：如果您认为对方的行为存在不当之处，或者您在处理此类问题时遇到困难，可以寻求专业的法律帮助。
最后，我需要提醒您的是，无论出现何种情况，都应保持冷静和理性，通过合法途径来解决问题。如果您有任何法律上的疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。