外卖贼被抓后，是否可以曝光其行为，需根据具体情况谨慎判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、法律角度
肖像权与名誉权保护：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，未经肖像权人同意，不得制作、使用、公开肖像权人的肖像，但是法律另有规定的除外。若曝光行为涉及公开外卖贼的肖像，且未经过其同意，可能构成对其肖像权的侵犯。
- 名誉权是民事主体对其品德、声望、才能、信用等社会评价享有的权利。公布外卖贼的照片或信息，若是对其违法犯罪行为的客观揭示，并非侮辱或诽谤，则通常不构成对其名誉权的侵犯。但需注意，曝光内容应真实、准确，避免夸大或歪曲事实。
隐私权保护：
- 隐私权是公民享有的对其个人的、与公共利益无关的个人信息、私人活动和私有领域进行支配的一种人格权。曝光外卖贼的行为时，应确保不侵犯其隐私权，如不公开其家庭住址、联系方式等敏感信息。
未成年人保护：
- 若外卖贼为未成年人，则需特别注意保护其合法权益。根据相关法律规定，不得披露未成年人的姓名、住所、照片等可能推断出其身份的信息。
二、道德与社会角度
社会谴责与道德约束：
- 从道德层面看，偷窃行为应受到社会的谴责。曝光外卖贼的行为，可以在一定程度上起到警示作用，减少类似行为的发生。
合法合规的曝光方式：
- 若决定曝光外卖贼的行为，应选择合法合规的方式。例如，可以通过向公安机关报案，由公安机关依法处理，并在必要时通过合法途径公布相关信息。避免采取过激或违法的曝光手段，如私自张贴照片、散布谣言等。
三、实际操作建议
优先报警处理：
- 发现外卖贼后，应优先选择报警处理。由公安机关依法进行调查取证，并根据情况采取相应的法律措施。
谨慎选择曝光方式：
- 若决定曝光外卖贼的行为，应谨慎选择曝光方式。确保曝光内容真实、准确，不侵犯其合法权益。同时，避免在公共场所或网络平台上散布未经证实的信息，以免引发不必要的法律纠纷。
咨询专业律师：
- 在处理此类问题时，建议咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供法律建议，帮助你合法合规地处理问题。若你有相关法律问题，可以直接向我咨询。