当遇到客户不愿按合同付款的情况时，您可以按照以下步骤来处理，以确保您的合法权益得到维护：

一、保存证据

首先，您需要妥善保存所有与合同相关的文件以及能证实对方尚未支付款项的确凿证据。这些证据可能包括：

• 双方签订的合同原件或复印件；
• 双方往来的电子邮件、短信息，特别是那些涉及付款条款和付款提醒的沟通记录；
• 清晰详尽的对账单，显示已发货但未收款的明细；
• 其他任何能证明客户未履行付款义务的书面或电子证据。

二、发送书面催款通知

在确认客户未付款后，您应适时地向客户发送具有正式效力的书面催款通知书。这份通知应明确告知客户：

• 其未按照合同约定履行付款义务的事实；
• 必须在合理期限内（如7天、15天等）履行付款义务；
• 若未在规定期限内付款，您将采取进一步的法律措施。

同时，务必妥善保存所有与此相关的证据资料，如通知函件、快递单据等，以备后续维权之需。

三、尝试非诉讼手段解决纠纷

如果客户在收到催款通知后仍未付款，您可以尝试通过协商、调解等非诉讼手段来解决这一纠纷。这可能包括：

• 与客户进行面对面或电话沟通，了解其未付款的原因，并尝试达成付款协议；
• 邀请第三方机构或个人进行调解，以促成双方达成和解。

四、提起诉讼或申请仲裁

如果非诉讼手段无法奏效，您需要根据合同中的相关约定，向有管辖权的人民法院提出诉讼或者依照约定申请仲裁。在诉讼或仲裁过程中，您需要：

• 准确陈述事实情况和理由，提供充足有力的证据来支撑您的诉讼请求；
• 关注诉讼时效的问题，一般民事纠纷的诉讼时效为三年，务必在时效期限内行使您的权利；
• 做好充分的准备工作，收集齐备的合同、履行凭证等关键性证据资料。

五、其他注意事项

• 在催款过程中，要注意保留好每一次沟通的记录，包括邮件、短信、通话录音等，这些都可能成为后续维权的重要证据；
• 如果合同中明确规定了需在支付货款之后才能进行货物交付，并且客户未能按照约定履行支付义务，您具备暂停货物交付的合法权利（先履行抗辩权），但需确保在此过程中完全遵循法律程序与合同约定；
• 若客户无法履行支付义务源于合理之抗辩因素，或者不予交付货物将会令您在违约责任方面承担愈发沉重的负荷，那么此时应谨慎决定是否拒绝继续供应货物。

综上所述，当遇到客户不愿按合同付款的情况时，您应首先保存证据、发送书面催款通知，然后尝试非诉讼手段解决纠纷，最后在必要时提起诉讼或申请仲裁。在整个过程中，务必保持冷静、理性，并遵循法律程序与合同约定来维护自己的合法权益。