被打一年后，经治疗伤情稳定并鉴定为轻伤，立案调查后警方是否会抓人，这取决于多种因素，不能一概而论。以下是从不同角度进行的分析：

1. 立案后的法律程序

• 立案条件：根据《刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在接到报案、控告、举报或自首材料后，认为有犯罪事实需要追究刑事责任时，应当立案。在此案例中，由于伤情鉴定为轻伤，已满足故意伤害罪的立案标准（轻伤及以上）。
• 抓人条件：立案后，警方会展开调查，收集证据。若证据充分，能够证明犯罪嫌疑人有故意伤害的行为，并且符合逮捕条件（如有证据证明有犯罪事实，可能判处徒刑以上刑罚，且采取取保候审、监视居住等方法尚不足以防止发生社会危险性等），警方会依法对犯罪嫌疑人采取强制措施，包括抓捕。

2. 时间因素对案件的影响

• 追诉时效：根据《刑法》的规定，故意伤害致人轻伤的追诉时效为五年。因此，从法律层面讲，一年后立案并不违反追诉时效的规定。
• 证据收集：时间越长，证据可能越难收集。但在此案例中，由于伤情已经鉴定并稳定，且案件已经立案，说明警方认为有足够的证据支持立案。然而，时间因素仍可能影响证据的完整性和证明力。

3. 犯罪嫌疑人的情况

• 在逃情况：如果犯罪嫌疑人在案发后逃匿，警方会加大追捕力度。一旦发现其行踪，会立即实施抓捕。
• 自首或投案：如果犯罪嫌疑人主动自首或投案，警方会依法进行讯问，并根据情况决定是否采取强制措施。
• 其他情节：如犯罪嫌疑人是否有前科、是否认罪悔罪、是否积极赔偿受害人损失等，都可能影响警方的处理决定。

4. 警方的处理策略

• 调查阶段：在调查阶段，警方会尽量收集证据，查明事实真相。此时，即使犯罪嫌疑人未被抓捕，也不代表其不会受到法律制裁。
• 抓捕时机：警方会根据案件进展和证据收集情况，选择合适的抓捕时机。有时，为了不打草惊蛇或确保抓捕成功，警方可能会选择在证据更加充分或犯罪嫌疑人放松警惕时实施抓捕。

5. 建议与后续行动

• 配合警方调查：作为受害人，应积极配合警方的调查工作，提供必要的证据和信息。
• 关注案件进展：可以定期向警方了解案件进展情况，以便及时了解犯罪嫌疑人的处理情况。
• 法律援助：如果在此过程中遇到法律问题或需要法律帮助，可以及时向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。