民事诉讼律师确实能够办理交通案件。在法律实践中，民事诉讼律师的执业范围广泛，涵盖了各类民事纠纷，包括但不限于合同纠纷、侵权纠纷、婚姻家庭纠纷等，而交通案件，特别是涉及交通事故责任认定、赔偿等问题的案件，本质上属于侵权纠纷的范畴，因此也在民事诉讼律师的执业范围之内。
以您提供的参考信息为例，小方遭遇的交通事故引发了多场纠纷，包括保险人代位求偿权纠纷、机动车交通事故责任纠纷（人损）以及劳动争议等。在这些案件中，法律援助律师（同样属于民事诉讼律师的范畴）不仅为小方提供了法律咨询和代理服务，还成功帮助他解决了多场纠纷，维护了他的合法权益。
具体来说，在处理交通案件时，民事诉讼律师可以：
提供法律咨询：帮助当事人了解交通事故责任认定的法律依据、赔偿标准等，为当事人提供专业的法律意见。
代理诉讼：代表当事人参与交通事故责任纠纷的诉讼过程，包括起诉、应诉、举证、质证等，为当事人争取最大的合法权益。
参与调解：在诉讼过程中或诉讼前，协助当事人与对方进行调解，达成和解协议，以节约司法资源并快速解决纠纷。
提供其他法律服务：如协助当事人收集证据、撰写法律文书、参与谈判等，为当事人提供全方位的法律支持。
因此，如果您或您身边的人遭遇了交通事故并需要法律帮助，完全可以寻求民事诉讼律师的协助。他们具备专业的法律知识和丰富的实践经验，能够为您提供有效的法律服务和支持。