结论：借款逾期后，出借人同意延期还款，是否需要支付违约金，需结合原借款合同约定、延期协议内容以及法律规定综合判断，具体分以下两种情况：

1. 原合同已约定逾期违约金，且延期协议未明确免除

若原借款合同中已明确约定“逾期还款需支付违约金”（如按日计收一定比例的违约金），且双方在签订延期还款协议时，未明确约定免除原逾期违约金，则借款人仍需按原合同约定支付违约金。
法律依据：根据《民法典》第五百八十五条，当事人可以约定一方违约时应当根据违约情况向对方支付一定数额的违约金。若延期协议未对原违约金条款作出变更，则原条款继续有效。
建议：此时借款人需仔细核对延期协议内容，若协议未提及违约金，可主动与出借人沟通确认，避免后续纠纷。

2. 延期协议明确约定免除或调整违约金

若双方在延期还款协议中明确约定免除原逾期违约金，或重新约定了违约金标准（如降低比例、延长支付期限等），则以延期协议为准，借款人无需按原合同支付违约金，或按新约定执行。
法律依据：根据《民法典》第五百四十三条，当事人协商一致，可以变更合同。延期协议作为对原合同的补充或变更，具有优先效力。
建议：签订延期协议时，务必要求出借人将“违约金调整”条款写入协议，并明确约定生效条件（如签字盖章后生效），避免口头约定。

补充说明：若原合同未约定违约金

若原借款合同未约定逾期违约金，则出借人无权要求借款人支付违约金，但可主张逾期利息（需符合法律规定）。此时延期还款协议中若约定违约金，需双方自愿协商，且不得违反法律强制性规定（如利率上限）。

总结：是否需要支付违约金，关键看延期协议是否对原违约金条款作出变更。若未变更，则按原合同执行；若已变更，则按新协议执行。建议签订延期协议时，务必明确约定违约金条款，避免后续争议。如有疑问，可直接向我咨询具体合同条款的审查或修改建议。