公司合法解除劳动关系的流程是一个严谨且需要遵循法律规定的过程，以确保双方当事人的权益得到妥善保护。以下是一个详细且清晰的解答：
一、解除劳动关系的提出
提出主体：用人单位或劳动者均有权依法提出解除劳动合同的请求。这可以是口头或书面的决议，但建议采用书面形式以保留证据。
阐述理由及事实依据：提出解除的一方需要明确阐述解除劳动合同的理由及相应的事实依据。例如，如果是用人单位提出解除，可能需要说明劳动者不符合录用条件、严重违反规章制度等具体事实。
二、通知工会
通知义务：用人单位在解除劳动合同前，应将解除劳动合同的事由通知工会。这是为了保障工会的知情权和参与权，确保解除过程的公正性。
工会意见：工会收到通知后，会提出意见。用人单位需要研究工会的意见，并根据研究结果作出处理决定。
处理结果通知：用人单位应将处理结果书面通知工会，确保工会了解最终的解除决定。
三、办理工作交接
交接安排：用人单位应安排相关员工与被解除劳动关系的劳动者办理工作交接。这包括工作资料的移交、工作任务的交接等。
交接确认：交接完成后，双方应签署交接确认书，以证明工作交接的完成。
四、结算薪资及经济补偿
薪资结算：在员工办理完毕交接手续后，用人单位应当结算并给付劳动者薪资。这包括工资、奖金、津贴等所有应得收入。
经济补偿：如果解除劳动合同符合支付经济补偿金的条件（如用人单位单方面解除、非过错性辞退等），用人单位应结算并支付经济补偿金。
五、劳动合同解除
六、备案及存档
用工备案：用人单位应到人力资源社会保障部门办理用工备案手续，以记录劳动关系的解除情况。
存档备案：同时，用人单位应对解除劳动合同的文本原稿、原电子档案以及相关的证据材料进行存档备案。这些材料应至少保存两年，以备后续查询和证明。
七、出具离职证明及办理相关手续
离职证明：用人单位应向劳动者出具解除劳动合同的证明，明确解除的时间和原因。
档案和社会保险关系转移：用人单位应为劳动者办理档案和社会保险关系的转移手续，确保劳动者的相关权益得到妥善处理。
失业金领取手续：如果劳动者符合领取失业金的条件，用人单位应协助其办理失业金领取手续。
八、特殊情形下的解除
双方协商解除：用人单位与劳动者协商一致，可以解除劳动合同。这种情况下，双方应签署解除协议，并明确经济补偿等事项。
劳动者单方解除：在具备法律规定的条件时（如用人单位以暴力、威胁等手段强迫劳动者劳动），劳动者享有单方解除权。这种情况下，劳动者应提前通知用人单位，并办理相关手续。
用人单位单方解除：包括过错性辞退、非过错性辞退、经济性裁员三种情形。每种情形都有严格的条件和程序限制，用人单位应严格遵守。
综上所述，公司合法解除劳动关系的流程是一个复杂且需要细致操作的过程。用人单位应严格遵守法律规定，确保解除过程的合法性和公正性，以维护双方当事人的权益。