针对您提出的“重婚的合法婚姻关系怎么处理”这一问题，我将从法律责任、婚姻关系解除以及财产分割三个方面为您进行详细解答。
一、法律责任
重婚行为严重违反了《中华人民共和国民法典》及《中华人民共和国刑法》的相关规定。在法律责任上，重婚者需承担双重责任：
刑事责任：根据《中华人民共和国刑法》第二百五十八条，有配偶而重婚的，或者明知他人有配偶而与之结婚的，处二年以下有期徒刑或者拘役。这意味着，重婚行为不仅破坏了婚姻家庭的稳定，还触犯了刑法，将受到法律的严厉制裁。
民事责任：在民事方面，重婚行为导致婚姻无效，无过错方有权要求重婚者给予损害赔偿，包括物质损害和精神损害赔偿。这是法律对无过错方的一种保护，旨在弥补其因重婚行为所遭受的损失。
二、婚姻关系解除
重婚关系属于无效婚姻，其处理方式主要涉及婚姻关系的解除：
宣告婚姻无效：当事人或利害关系人可以向法院申请宣告重婚婚姻无效。法院在查实后，会依法判决该婚姻无效，从而解除重婚者与他人的非法婚姻关系。
合法婚姻关系的处理：原配合法婚姻不会因重婚行为而自动解除。如果原配双方希望结束婚姻关系，可以通过协议离婚的方式去登记机关办理离婚手续；如果协商不成，也可以向法院起诉离婚，并处理财产分割、子女抚养等事宜。
三、财产分割
在处理重婚关系时，财产分割是一个重要环节。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定：
协议处理：夫妻共同财产首先由双方协议处理。如果双方能够达成一致意见，可以按照协议进行分割。
法院判决：如果协议不成，由人民法院根据财产的具体情况，按照照顾子女、女方和无过错方权益的原则进行判决。这意味着，在财产分割时，法院会倾向于保护无过错方的权益，确保其得到合理的财产分配。
总结与建议
重婚行为不仅严重违反了法律，还破坏了婚姻家庭的稳定。一旦发现重婚情况，无过错方应及时采取法律措施加以处理。具体来说，可以向法院提起诉讼，请求宣告重婚婚姻无效，并要求重婚者承担刑事责任和民事赔偿责任。同时，在处理财产分割和子女抚养等问题时，也应依法维护自己的合法权益。
最后，我建议您在处理此类问题时，务必咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。希望以上解答能够对您有所帮助。