在起诉机构不退费的情况下，诉讼费用一般由原告先行垫付，但胜诉后可以要求对方承担。以下是对这一问题的详细分析：
一、诉讼费用交纳原则
根据《诉讼费用交纳办法》，案件受理费等诉讼费用一般由原告（即起诉机构要求退费的一方）在起诉时预先交纳。具体金额由法院根据案件性质、标的额等因素确定。原告自接到人民法院交纳诉讼费用通知次日起7日内需交纳案件受理费。逾期未交且未提出司法救助申请，或申请未获批准且在指定期限内仍未交纳的，将按自动撤诉处理。
二、诉讼费用承担情况
一般情况：
- 若原告胜诉，即法院判决机构退费，诉讼费用由败诉方（机构）承担。原告预先交纳的诉讼费用，法院会退还，并可能向机构强制执行该费用。
部分胜诉、部分败诉：
- 法院将根据案件具体情况决定当事人各自负担的诉讼费用数额。例如，原告起诉要求退还全额费用，但法院仅判决退还部分费用时，诉讼费用可能按比例分担。
双方达成调解：
- 经法院调解达成协议的案件，诉讼费用的负担由双方当事人协商解决；协商不成时，由法院决定。
原告撤诉：
- 以调解方式结案或原告申请撤诉的，案件受理费减半交纳，由原告负担。
三、特殊情形下的诉讼费用
经济困难：
- 若原告经济困难，符合法律援助条件，可向法院申请缓交、减交或免交诉讼费用。法院将进行审查并决定是否准许。
其他费用：
- 除案件受理费外，还可能产生申请费、证人出庭费等其他费用。这些费用同样需由原告先行垫付，并根据法院判决或调解结果确定承担方式。
四、实际操作建议
准备充分：
- 在起诉前，建议准备好起诉状和相关的证据材料，如双方之间签订的合同、协议等，以便在诉讼中作为证据使用。
明确诉讼请求：
- 在起诉状中要写明原被告双方的身份信息、诉讼请求以及事实和理由，特别是要明确要求对方承担诉讼费用。
咨询专业律师：
- 虽然我作为杨玉婷律师已经给出了详细的解答，但每个案件的具体情况可能有所不同。因此，在实际操作中，建议咨询当地律师或法律专业人士，以获取更具体的法律建议。
保留相关证据：
- 注意保留好所有与机构沟通、交易相关的记录，如聊天记录、转账记录等，以便在诉讼中作为证据使用。
总结来说，在起诉机构不退费的情况下，诉讼费用一般由原告先行垫付，但胜诉后可以要求对方承担。在实际操作中，应充分了解相关法律法规和程序要求，以确保自身权益得到有效维护。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。