买卖公共设施是违法的，并会受到相应的行政处罚。以下是对此问题的详细分析：

一、法律定性

根据《物业管理条例》的相关规定，擅自利用物业共用部位、共用设施设备进行经营是违法的。公共设施，如小区内的健身器材、公共座椅、绿化设施等，均属于全体业主共有，任何个人或单位未经授权不得擅自进行买卖或经营。

二、处罚措施

对于擅自买卖或利用公共设施进行经营的行为，县级以上地方人民政府房地产行政主管部门有权责令限期改正，并给予警告。同时，根据违规情节的严重程度，还可能处以罚款。所得收益应当用于物业管理区域内物业共用部位、共用设施设备的维修、养护，剩余部分则按照业主大会的决定使用。

三、处罚流程

1. 立案：房地产行政主管部门在发现违法行为后，会进行审查并决定是否立案。
2. 调查：立案后，会指定专人负责调查取证，确保执法人员不少于2人，并出示执法证件。
3. 审查：对案件调查报告进行审查，包括违法事实、证据、调查取证程序、法律适用等方面。
4. 告知：在作出行政处罚决定前，会制作《行政处罚先行告知书》送达当事人，告知其违法事实及享有的陈述、申辩等权利。
5. 决策与听证：对于重大行政处罚，会进行集体讨论并作出决策。若当事人要求听证，行政机关应当组织听证。
6. 决定与送达：制作行政处罚决定书，并载明相关内容后送达当事人。
7. 执行：根据行政处罚决定，执行相应的处罚项目，如停止从事警告、责令改正等。

四、法律后果

除了行政处罚外，如果相关行为构成犯罪，如涉及贪污、受贿等，还将依法追究刑事责任。此外，对于房地产行政主管部门或其他有关行政管理部门的工作人员，如果利用职务上的便利收受他人财物或其他好处，不依法履行监督管理职责，或发现违法行为不予查处，也将依法追究责任。

五、建议与提醒

1. 遵守法律法规：任何个人或单位都应严格遵守相关法律法规，不得擅自买卖或利用公共设施进行经营。
2. 增强法律意识：提高法律意识，了解并遵守物业管理等相关规定，避免因无知而违法。
3. 积极维权：如果发现有人擅自买卖或利用公共设施进行经营，可以向房地产行政主管部门举报，维护自身及全体业主的合法权益。

如有任何关于房产纠纷或遗产继承方面的法律问题，可以直接向我咨询。