双方打架，两方有责任时可能涉及的罪名主要取决于打架行为的性质、情节以及造成的后果。以下是对此问题的详细分析：
不构成犯罪的情形：
- 如果双方打架行为未造成轻伤以上的伤害结果，且情节较轻，如仅发生口角后互相推搡等轻微肢体冲突，那么这种行为通常不构成犯罪，而是属于违反治安管理的行为。
- 根据《治安管理处罚法》第四十三条，对于殴打他人或故意伤害他人身体的行为，可以处以五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。
构成故意伤害罪的情形：
- 如果一方或双方的打架行为导致对方受到轻伤以上的伤害（包括轻伤二级、轻伤一级、重伤二级、重伤一级），则可能构成故意伤害罪。
- 故意伤害罪是指行为人故意非法损害他人身体健康的行为。根据《刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
构成聚众斗殴罪的情形：
- 如果双方纠集多人进行打架斗殴，破坏公共秩序，则可能构成聚众斗殴罪。
- 聚众斗殴罪是指为了报复他人、争霸一方或者其他不正当目的，纠集众人成帮结伙地互相进行殴斗，破坏公共秩序的行为。根据《刑法》第二百九十二条，聚众斗殴的，对首要分子和其他积极参加的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；有多次聚众斗殴、聚众斗殴人数多规模大社会影响恶劣、在公共场所或者交通要道聚众斗殴造成社会秩序严重混乱、持械聚众斗殴等情形的，对首要分子和其他积极参加的，处三年以上十年以下有期徒刑。
构成寻衅滋事罪的情形：
- 如果打架行为是出于无事生非、起哄闹事的目的，随意殴打他人，情节恶劣，破坏社会秩序，则可能构成寻衅滋事罪。
- 寻衅滋事罪是指肆意挑衅，随意殴打、骚扰他人或任意损毁、占用公私财物，或者在公共场所起哄闹事，严重破坏社会秩序的行为。根据《刑法》第二百九十三条，有随意殴打他人情节恶劣、追逐拦截辱骂恐吓他人情节恶劣、强拿硬要或者任意损毁占用公私财物情节严重、在公共场所起哄闹事造成公共场所秩序严重混乱等行为之一的，破坏社会秩序的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制；纠集他人多次实施前款行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金。
法律建议：
- 在遇到类似情况时，建议双方保持冷静，避免冲突升级。
- 如果已经发生冲突并造成伤害，应立即报警并寻求法律帮助。
- 对于涉及的法律责任和后果，建议咨询专业律师以获取更准确的法律意见。
后续行动：
- 如果您或他人涉及此类事件，请尽快收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等。
- 及时与警方沟通，配合调查，以便更好地维护自己的合法权益。
如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。