结论：安装电梯时拆除唯一的公共梯子是否违法，需根据具体情况判断，但通常此行为可能涉及违法，因为可能违反建筑物共有部分的管理规定、消防安全规定以及相邻权的相关规定。
分析：
建筑物共有部分的管理规定：
- 根据《民法典》及相关物业管理规定，建筑物的共有部分（如楼梯、电梯间等）属于全体业主共有，任何单位或个人不得擅自占用、改变其用途或进行破坏。
- 若公共梯子属于建筑物的共有部分，且拆除行为未经全体业主同意或未按照法定程序进行，则该行为可能构成违法。
消防安全规定：
- 楼梯作为建筑物内的紧急疏散通道，其存在对于保障人员安全至关重要。
- 根据《消防法》及相关规定，任何单位或个人不得占用、堵塞、封闭疏散通道、安全出口或者有其他妨碍安全疏散的行为。
- 若拆除公共梯子导致疏散通道受阻，可能违反消防安全规定，构成违法。
相邻权的相关规定：
- 相邻权是指不动产的相邻各方在行使所有权或使用权时，因相互间依法应当给予方便或接受限制而发生的权利义务关系。
- 若拆除公共梯子对相邻业主的正常使用造成影响（如通行不便、安全隐患等），则可能侵犯相邻权，构成违法。
建议：
- 合法程序：若确实需要拆除或改造公共梯子以安装电梯，应首先通过业主大会或业主委员会等合法途径征求全体业主的意见，并按照法定程序进行申请和审批。
- 消防安全：在拆除或改造过程中，应确保不影响建筑物的消防安全，如设置临时疏散通道、配备消防设施等。
- 相邻权保护：应充分考虑相邻业主的权益，避免因拆除或改造行为对相邻业主造成不必要的困扰或损失。
可能的法律后果：
- 若拆除公共梯子的行为违反相关法律法规，可能面临行政处罚（如罚款、责令恢复原状等）。
- 若因拆除行为导致人员伤亡或财产损失，还可能承担民事赔偿责任甚至刑事责任。
总结：安装电梯时拆除唯一的公共梯子是一个复杂且敏感的问题，涉及多方面的法律权益。在做出决定前，建议充分咨询专业律师或相关部门的意见，确保行为合法合规。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。