针对您提出的“私刻医院公章犯什么罪，如何处罚”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、犯罪认定
私刻医院公章的行为，明确涉嫌伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，医院作为事业单位，其公章受到法律保护，未经授权私刻医院公章，即构成伪造事业单位印章的犯罪行为。这一行为属于行为犯，意味着只要实施了伪造行为，原则上就构成犯罪，应依法立案追究。
二、处罚标准
对于伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章的犯罪行为，法律有明确的处罚规定：
一般情况：根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条第二款，伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。这是针对大多数普通情节的处罚标准。
情节严重：若私刻公章行为造成了特别严重的后果或影响，例如利用私刻公章进行大规模诈骗、伪造重要文件等，将可能面临更严厉的刑罚，即处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
在实际司法实践中，具体的量刑会综合考虑多种因素，包括但不限于犯罪动机、手段、造成的具体后果、行为人的悔罪态度等。此外，如果私刻公章后还进一步利用其进行其他犯罪活动，如诈骗、伪造国家机关公文等，将可能按照牵连犯或数罪并罚的原则进行处理。
三、特别说明
值得注意的是，除了刑事处罚外，私刻医院公章的行为还可能受到治安行政处罚。根据相关规定，涉嫌伪造事业单位印章的，依法应追究治安行政责任，可能面临拘留十日到十五日，并处五百元以下罚款的处罚。
四、法律建议
面对私刻医院公章这一严重违法行为，我建议您务必保持高度警惕，切勿触碰法律红线。一旦发现自己或身边有人涉及此类问题，应立即咨询专业律师，以便及时了解相关法律规定，寻求合适的法律帮助，并积极配合司法机关的调查与处理，以减轻可能的法律责任。
综上所述，私刻医院公章是严重的违法行为，不仅会对个人造成严重后果，还可能对社会秩序造成不良影响。因此，我们应严格遵守法律法规，远离任何违法犯罪行为。希望以上解答能够对您有所帮助。