结论：自用工之日起一个月内签订劳动合同，如果当月有31天，第31天签订是合法的。

详细分析：

1. 法律规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条的规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。

2. 时间计算：

   • “一个月内”这一表述，在法律上通常理解为从用工之日起开始计算的30个自然日（包含起始日和结束日，但具体是否包含起始日或结束日可能因地区或具体规定而异，不过在此情境下，我们关注的是整体的一个月期限）。然而，在实际操作中，由于月份天数不同（有28天、29天、30天、31天），“一个月内”往往被理解为从用工之日起至下一个月的对应日之前（若下一个月无对应日，则至下一个月的最后一日之前）。但在此问题中，我们关注的是“一个月内”这一宽泛期限，而非具体到某一天是否必须签订。
   • 既然法律规定的是“一个月内”，那么只要在这个期限内签订了劳动合同，就是符合法律规定的。因此，如果当月有31天，第31天签订劳动合同，仍然是在“一个月内”的期限内，所以是合法的。

3. 法律后果：

   • 如果用人单位未在自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位应当向劳动者每月支付二倍的工资。但在此问题中，由于是在第31天签订了劳动合同，所以并未违反这一规定，用人单位无需支付二倍工资。

建议：

• 虽然第31天签订劳动合同在法律上是合法的，但为了避免可能的争议和误解，建议用人单位尽量在用工之日起的较短时间内（如一周内或两周内）与劳动者签订书面劳动合同。
• 劳动者在签订劳动合同时，也应仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。

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