针对您提出的问题“医疗事故后出生的孩子法院不支持医院给抚养费”，我首先给出明确的结论：在医疗事故导致孩子出生并因此需要抚养的情况下，法院通常不会直接支持医院支付抚养费，因为抚养费的支付责任主要属于孩子的父母。接下来，我将从几个方面详细解释这一结论。

1. 法律责任的归属：

   • 医疗事故责任主要涉及医疗机构在诊疗过程中的过错行为与患者损害之间的因果关系。
   • 抚养费的支付责任则属于孩子的父母，这是基于家庭法和亲子关系产生的法定义务。
   • 因此，医疗事故责任与抚养费的支付责任在法律上是两个独立的责任体系，不能混为一谈。

2. 法院判决的依据：

   • 法院在审理医疗事故案件时，主要关注的是医疗机构的过错行为及其对患者造成的直接损害。
   • 如果孩子的出生是由于医疗事故导致的，但孩子本身并没有因医疗事故受到直接的身体伤害，那么法院通常不会将抚养费的支付责任归咎于医院。
   • 抚养费的支付责任应当由孩子的父母承担，除非有特殊情况（如父母无抚养能力或去世等），否则法院不会判决医院支付抚养费。

3. 可能的法律途径：

   • 如果您认为医疗事故导致了孩子的出生，并且因此给您带来了经济负担，您可以考虑通过其他法律途径来寻求救济。
   • 例如，您可以向医疗机构提起医疗事故赔偿诉讼，要求医疗机构赔偿您因医疗事故导致的经济损失（包括但不限于医疗费用、精神损害抚慰金等）。
   • 在诉讼过程中，您可以向法院提供充分的证据来证明医疗机构的过错行为以及该行为与您所遭受的损失之间的因果关系。

4. 建议与咨询：

   • 如果您面临这样的情况，建议咨询专业的医疗纠纷律师，以便更详细地了解您的法律权益和可能的法律途径。
   • 律师可以帮助您分析案件的具体情况，提供针对性的法律建议，并代表您与医疗机构进行协商或提起诉讼。

综上所述，法院通常不会支持医院支付因医疗事故导致出生的孩子的抚养费。如果您有相关法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。