关于私人借款按天收取利息的合法性问题，这主要取决于双方约定的利率是否超过了法律规定的上限。

根据《最高人民法院关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》，双方约定的利率不得超过借贷合同成立时一年期贷款市场报价利率的四倍。如果出借人请求借款人按照约定的利率支付利息，且该利率未超过这一上限，那么人民法院应予支持。反之，如果约定的利息超过了这一法律规定，那么超出部分将不受法律保护。

对于按天收取利息的情况，同样需要遵循这一原则。也就是说，无论是按天、按月还是按年计息，利率都不得超过借贷合同成立时一年期贷款市场报价利率的四倍。

此外，值得注意的是，这个四倍限制是适用于全部借款利率的，包括本金和利息在内。因此，在约定利率时，双方需要仔细计算，确保利率在合法范围内。

总的来说，私人借款按天收取利息的合法性取决于双方约定的利率是否超过法律规定的上限。在签订借贷合同时，建议双方明确约定利率，并确保其符合法律法规的要求，以避免未来可能出现的法律纠纷。