针对农民工欠薪问题，主要负责的部门是人力资源社会保障部门，特别是国务院根治拖欠农民工工资工作领导小组办公室。该部门负责统筹协调全国的根治欠薪工作，包括组织专项行动、制定相关政策、监督执行情况等。

当农民工遇到欠薪问题时，可以通过以下途径来维护自己的合法权益：

1. 向当地人力资源社会保障部门举报投诉：这是最直接也最有效的方法。农民工可以携带相关证据材料，如工资条、工作合同、出勤记录等，到当地人力资源社会保障部门的劳动监察机构进行举报投诉。部门会依法受理并展开调查，对查实的欠薪行为进行处理。

2. 利用“全国根治欠薪线索反映平台”：该平台是国务院根治拖欠农民工工资工作领导小组办公室设立的，旨在方便农民工在线提交欠薪线索。农民工可以通过手机或电脑访问平台，按照提示填写相关信息并提交欠薪线索。平台会及时将线索转交给相关地区、部门进行核实处理。

3. 寻求法律援助：如果农民工在维权过程中遇到困难或需要法律帮助，可以向当地法律援助机构申请法律援助。法律援助机构会提供免费的法律咨询和代理服务，帮助农民工维护自己的合法权益。

4. 申请劳动仲裁或提起诉讼：如果经过协商、调解等程序仍无法解决问题，农民工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，或者向人民法院提起诉讼。这是维护农民工合法权益的最后一道防线。

此外，如果公司倒闭导致欠薪，农民工可以依据公司法的规定，参与公司财产的清算和分配。在清算过程中，职工的工资、社会保险费用和法定补偿金是优先支付的。如果公司财产不足以支付全部债务，农民工可以与其他债权人按照法定程序共同分配剩余财产。

总之，农民工在遇到欠薪问题时，应该积极寻求法律途径来维护自己的合法权益。同时，政府和社会各界也应该共同努力，加强监管和宣传，营造公平、公正的劳动环境，保障农民工的合法权益不受侵害。