分期缴纳罚款的行政案件催告书，其下达时间通常是在行政处罚决定所确定的分期缴纳期限届满后，且行政机关准备申请法院强制执行前的十日内。这一时间点的确定，既给当事人留出了足够的时间来履行其分期缴纳罚款的义务，又为行政机关提供了在当事人未履行义务时申请强制执行的法律依据。

详细来说，根据《中华人民共和国行政强制法》的相关规定，行政机关在申请人民法院强制执行前，必须催告当事人履行义务，这一催告行为通过下达催告书来实现。而催告书送达十日后，若当事人仍未履行义务，行政机关则有权向所在地有管辖权的人民法院申请强制执行。

在分期缴纳罚款的情况下，如果当事人因经济困难等原因确需延期或分期缴纳罚款，并且这一申请得到了行政机关的批准，那么罚款的缴纳期限可以暂缓或分期进行。相应地，催告书的下达时间也会顺延至延期或分期缴纳期限届满之后。这是法律对当事人实际情况的一种灵活处理，体现了法律的人文关怀。

然而，如果当事人的延期或分期缴纳罚款申请未被行政机关批准，或者当事人未提出此类申请但未按期缴纳罚款，那么催告书的下达时间将按照原行政处罚决定所确定的履行期限届满后进行。这样做既保持了法律的严肃性，也确保了行政处罚的执行力。

总的来说，分期缴纳罚款行政案件催告书的下达时间是一个相对灵活但又有明确法律规定的时间点。在实际操作中，建议当事人密切关注自己的缴纳期限，并咨询相关办案人员或查阅相关法律法规，以获取最准确、最权威的信息和指导。