如果监外执行申请被驳回，当事人可以采取以下措施来应对：

首先，明确结论：监外执行申请被驳回后，当事人可以在规定时间内向上一级法院申请复议，这是法律赋予的权利。

接下来，详细分析并给出建议：

1. 分析驳回原因：

   • 当事人应首先仔细阅读驳回裁定书，了解驳回的具体原因。通常，监外执行申请被驳回可能是因为不符合严重疾病保外就医、怀孕或哺乳、生活不能自理等法定情形。

2. 准备复议材料：

   • 如果当事人认为驳回裁定不当或违反法令，可以准备复议申请书、原裁定书的副本、相关证据和法律依据等材料。复议申请书应明确表述申请复议的请求和理由，并提供充分的证据支持。

3. 提交复议申请：

   • 当事人应在裁定书送达之日起十日内，将复议申请及相关材料提交给上一级人民法院。提交时，应确保材料的完整性和真实性。

4. 等待审查与结果：

   • 上级法院在收到复议申请后，会依法进行审查。审查过程中，法院可能会要求当事人补充材料或进行听证等程序。最终，上级法院会根据实际情况作出是否撤销原裁定、指令下级法院重新审查或作出其他相应裁定的决定。

另外，还需注意：

• 如果复议申请再次被驳回，当事人还可以考虑其他法律救济途径，如申请再审或向有关机关提出申诉。
• 在整个过程中，当事人应积极参与监管工作，严格遵循相关法规，以争取未来的审查中重新获得评断的机会。

最后，总结并强调：

监外执行申请被驳回并不意味着当事人失去了所有希望。通过仔细分析驳回原因、准备充分的复议材料，并在规定时间内向上一级法院申请复议，当事人仍有可能争取到监外执行的机会。如果复议申请再次被驳回，还可以考虑其他法律救济途径来维护自己的合法权益。