在私人医院鉴定为轻微伤的情况下，赔偿流程与标准主要遵循民事侵权赔偿的相关规定，特别是《民法典》中的侵权责任编。以下是对赔偿项目及流程的详细解答：
一、主要赔偿项目
医疗费：
- 赔偿范围包括挂号费、诊疗费、药费、住院费等实际发生的医疗费用。
- 必须提供正规医疗机构的收费凭证，如医疗发票、费用清单等，并结合病历和诊断证明来确定。
误工费：
- 根据受害人因受伤而实际减少的收入来计算。
- 误工时间需根据医疗机构出具的证明来确定，若持续误工，则可计算至定残日前一天。
- 对于有固定收入的受害人，按实际减少的收入计算；对于无固定收入的，则按照最近三年的平均收入或参照当地相同/相近行业上一年度职工的平均工资来计算。
护理费：
- 根据护理人员的收入状况和护理人数、护理期限来确定。
- 若护理人员有收入，则参照误工费的规定来计算；若无收入或雇佣护工，则参照当地护工同等级别护理的劳务报酬标准来计算。
- 护理期限应计算至受害人恢复生活自理能力时止。
交通费：
- 赔偿受害人及其必要的陪护人员因就医或转院治疗而实际发生的费用。
- 应提供正式票据，并与就医地点、时间、人数、次数相符合。
住院伙食补助费：
- 根据受害人住院天数和当地国家机关一般工作人员的出差伙食补助标准来确定。
营养费：
精神损害抚慰金（如适用）：
- 在造成精神损害的情况下，虽未构成残疾，但根据具体情况，法院也可能支持一定的精神损害抚慰金。
二、赔偿流程
报案与伤情鉴定：
- 第一时间向公安机关报案，并提供相关证据和打人者的基本信息。
- 公安机关会立案调查，并出具伤情鉴定证明，这是后续赔偿的重要依据。
协商与调解：
- 双方可尝试通过协商来达成赔偿协议。
- 如协商不成，公安机关或相关部门可进行调解。调解成功则不予处罚，但需赔偿损失；调解不成则进入法律程序。
诉讼与执行：
- 若无法达成赔偿协议，受害人可向人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，受害人需提供充分证据来支持自己的主张，如医疗证明、工资证明、护理证明等。
- 法院判决后，打人者必须履行赔偿义务。如拒绝履行，受害人可申请强制执行。
三、注意事项
赔偿标准差异：
- 具体赔偿标准可能因地区、时间等因素而有所不同。因此，在主张赔偿时，应参考当地法律法规和司法解释来确定。
证据收集：
- 受害人在主张赔偿时，应尽可能收集并保留所有相关证据，如医疗记录、费用票据、收入证明等。
刑事责任界定：
- 轻微伤一般不构成刑事责任，只能要求民事赔偿。但若法医鉴定为轻伤或重伤，则可能涉及刑事责任。
综上所述，鉴定为轻微伤后的赔偿过程涉及多个方面，需要受害人充分了解相关法律法规，积极收集证据，并通过合法途径来维护自己的权益。在协商、调解或诉讼过程中，确保自己的诉求得到合理支持。