婚生子和私生子在法律上确实享有同等的继承权。这一原则是基于我国《民法典》的相关规定，它明确指出自然人的继承权是一律平等的，无论是婚生子女还是非婚生子女（即通常所说的私生子），都平等地拥有继承被继承人遗产的权利。

具体来说，婚生子女是男女双方在依法确立婚姻关系后所生育的子女，而私生子则是在依法确立婚姻关系前或婚外行为所生的子女。尽管他们在出生形式上存在差异，但法律赋予他们的地位是相同的，他们承担相同的权利和义务，包括继承权。

在继承过程中，私生子和婚生子女一样，有权参与遗产的分配，并享有相应的份额。例如，在没有遗嘱的情况下，按照法定继承顺序，私生子和婚生子女都有权继承父母的遗产。这一规定体现了法律对所有子女的公平对待，不论其出生的方式如何。

此外，法律还规定不直接抚养非婚生子女的生父或生母应当负担子女的生活费和教育费，直至子女能独立生活为止。这进一步保障了非婚生子女的合法权益，确保他们在成长过程中得到必要的经济支持。

总的来说，婚生子和私生子在法律上享有同等的继承权，这是法律对所有子女公平对待的体现。在实际操作中，应严格按照法律规定执行，确保每个子女的合法权益得到保障。