精神分裂二级的监护人由谁担任，这个问题主要涉及到《中华人民共和国民法典》中关于监护人的规定。

首先，我们需要明确的是，精神分裂二级通常指的是患者被认定为限制民事行为能力人。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，对于无民事行为能力或者限制民事行为能力的成年人，监护人的担任有一定的顺序：首先是配偶，其次是父母、子女，再次是其他近亲属。如果这些人都没有监护能力或者不适合担任监护人，那么可以由居民委员会、村民委员会、民政部门或者人民法院来指定监护人。

在实际操作中，如果精神分裂二级的患者有配偶，并且配偶具备监护能力，那么配偶应当是首选的监护人。如果配偶不具备监护能力或者已经与患者离婚（即使未办理离婚登记但已分居生活且感情破裂），那么就需要考虑其他有监护资格的人。

以您提供的案例为例，张某初被认定为限制民事行为能力人后，其监护人的确定就遵循了这一原则。首先排除了已经与患者分居且感情破裂的配偶易某某，然后选择了张某初的儿子张某洪作为监护人，因为张某洪是法定的第二顺序监护人，并且具备监护能力，也更有利于对张某初的悉心照料。

综上所述，精神分裂二级的监护人应当根据患者的具体情况来确定，首先考虑配偶，其次是父母、子女，再次是其他近亲属。如果这些人都不适合担任监护人，可以由相关部门或法院来指定。在确定监护人时，需要充分考虑被监护人的真实意愿和监护人的监护能力等因素。